Đề thi và đáp án môn toán ĐH năm 2009

Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 các môn Toán, Lý, Hoá, ….các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN; KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 2 3 x y x + = + (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình (1 2sinx)cos 3 (1 2sin x)(1 sinx) x− = + − 2. Giải phương trình 3 2 3 2 3 6 5 8 0( )x x x R− + − − = ∈ Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 2 3 2 0 ( os 1) osI c x c xdx π = − ∫ Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=2 α , CD α góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cũng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tính thể tích khối chóp S.ABCD theo α . Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thoả mãn x(x+y+x)=3yz, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 5x y x z x y x z y z x z+ + + + + + + ≤ + PHẦN RIÊNG (3,0 điểm); Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B A. Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : 5 0x y∆ + − = viết phương trình đường thẳng AB 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 4 0P x y z− − − = và mặt cầu ( ) 2 2 2 : 2 4 6 11 0S x y z x y z+ + − − − − = . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn đó Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phưc của phương trình 2 2 10 0z z+ + = tính giá trị của biểu thức 2 2 1 2 .A z z= + GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 1 Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 các môn Toán, Lý, Hoá, ….các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi B. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2 : 4 4 6 0C x y x y+ + + + = và đường thẳng : 2 3 0x my m∆ + − + = , với m là tham số thực. Gọi I là tâm đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = và hai đường thẳng 1 9 : 1 1 6 x y z+ + ∆ = = , 1 3 1 : 2 1 2 x y z− − + ∆ = = − . Xác định toạ độ điểm M, thuộc đường thẳng 1 ∆ sao cho khoảng cách từ M đế đường thẳng 2 ∆ và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 log 1 log , 3 81 x xy y x y xy x y Z − +  + = +  ∈   =  ----------------------Hết---------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………… : Số báo danh:…………………… ĐÁP ÁN Caâu I. GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 2 Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 các môn Toán, Lý, Hoá, ….các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi 1Khảo sát hàm số * TXĐ: 3 \ 2 D R   = −     * ChiÒu biÕn thiªn + Giíi h¹n: 3 3 2 2 lim ,lim x x y y − + →− →− = −∞ = +∞ => Tiệm cận đứng: 3 2 x = − + 1 1 lim ,lim 2 2 x x y y →−∞ →+∞ = = => Tiệm cận ngang: 1 2 y = + ( ) 2 1 ' 0, 2 3 y x D x − = < ∀ ∈ + Vậy: - Hàm số giảm trên từng khoảng xác định - Hàm sô không có cực trị - Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng: 3 1 , 2 2 N   −  ÷   * Bảng biến thiên x −∞ 3 2 − +∞ y’ - + y 1 2 +∞ −∞ 1 2 * Vẽ đồ thị: + Giao trục Ox: Tại điểm (-2,0) + Giao trục Oy: Tại điểm (0, 2 3 ) GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 3 Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 các môn Toán, Lý, Hoá, ….các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi 3. Tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng y = x hoặc y = - x. Hay ( ) ( ) 0 0 0 2 0 0 0 1 1 1 ' 1 1 1 1 2 3 x y f x x y x = − => =  − = − ⇔ = ± ⇔  = => = − +  • Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(-1,1) là: ( ) 1 1 1y x y x− = − + ⇔ = − (loại) • Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(1,-1) là: ( ) 0 1 2 2y x y x− = − + ⇔ = − − • Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm thoả bài toán là: 2y x= − − Câu II: Điều kiện: ( ) x 2 6 1 sinx 5 2 2 6 sinx 1 x 2 2 k x k k Z k π π π π π π  ≠ − +    ≠ −   ⇔ ≠ + ∈     ≠   ≠ +   2 (1 2sinx)cos 3 (1 2sinx)cos 3(1 2sin x)(1 sinx) (1 2sin x)(1 sinx) cos 2sin 3(1 sin 2sin ) cos 3 sin sin 2 3 cos2 1 3 1 3 cos sin sin 2 cos2 cos cos 2 2 2 2 2 3 6 2 2 3 6 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x k x x π π π π π π − = ⇔ − = + − + − ⇔ − = + − ⇔ − = +     ⇔ − = + ⇔ + = −  ÷  ÷     + = − + ⇔ + = − + ( ) 2 12 2 2 18 3 6 x k k Z x k k π π π π π π   = −     ⇔ ∈     = − + +    So sánh với điều kiện ta được: ( ) 2 18 3 x k k Z π π = − + ∈ 2. 3 2 3 2 3 6 5 8 0(*)x x− + − − = GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 4 Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 các môn Toán, Lý, Hoá, ….các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi Điều kiện 6 6 5 0 5 x x− ≥ ⇔ ≤ Đặt 3 3 3 2 3 2 3 2 3 t t x t x x + = − ⇔ = − ⇔ = (*) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 5 2 5 2 5 2 8 2 8 2 2 3 6 8 0 6 6 3 3 3 3 3 t t t t t t + + + − −   + − − = ⇔ − = ⇔ − =  ÷   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 4 4 4 4 2 0 2 2 15 26 20 0 15 4 32 40 0 0 15 26 20 0 t t t t t t t t t t t t VN t t  ≤ ≤   ≤  ≤     ⇔ ⇔ + = ⇔ = −     + − + = + − + =      ∆ ≤ =>  − + =   <=> t= -2  x = -2 Câu III 2 2 2 3 2 5 2 0 0 0 (cos 1)cos cos cosI x xdx xdx xdx π π π = − = − ∫ ∫ ∫ • Đặt 2 2 2 5 4 2 2 1 0 0 0 cos cos cos (1 sin ) cosI xdx x xdx x xdx π π π = = = − ∫ ∫ ∫ Đặt t = sin cost x dt xdx = ⇒ = đổi cận 0 2 π t 0 1 1 1 1 3 5 2 2 2 4 1 0 0 0 2 8 (1 ) (1 2 ) 3 5 15 t t I t dt t t dt t   = − = − + = − + =  ÷   ∫ ∫ • Đặt 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 1 os2 1 1 1 1 cos os2 sin 2 2 2 2 2 4 4 c x I xdx dx dx c xdx x x π π π π π π π + = = = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ => 1 2 8 15 4 I I I π = − = − Câu IV: Từ giả thiết ta suy ra SI vuông góc với mp(ABCD. Gọi N là trung điểm của BC và M là hình chiếu của I lên BC. Ta có: 2 2 3 . 1 3 3 5 ; . . ; 2 2 2 2 2 4 2 2 CIN a a a IN CK a a BC a IN S a CN + = = = = = = = GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 5 Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 các môn Toán, Lý, Hoá, ….các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi [ ] 2 2 2 2 . 3 1 1 3 3 . . 2 4 2 2 5 6 3 3 , 5 5 1 1 3 3 3 15 2 2 3 2 5 5 CIN IN CK a a a S IM CN IM CN a a SM SI a a V a a a = = = => = = => = =   => = + =  ÷   Câu V: Theo giả thiết: ( ) 3 1 3 y z y z x x y z xyz x x x x + + = ⇔ + + = (*) Đặt 0, 0, 0 y z u v t u v x x = > = > = + > (*) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 3 3 3 4 4 0 2 3 2 0 2 2 4 u v t t uv t t t t t +   + = ≤ = ⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥  ÷   Mặt khác ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 5 1 1 3 1 5 2 3 1 1 3 1 1 3 1 1 5 1 2 6 1 5 4 6 4 0 2 1 2 0 3 x y x z x y x z y z x z u v u v u v u v t u v u v u v t t t t t t t t t t t + + + + + + + ≤ + ⇔ + + + + + + + ≤ + ⇔ + − + + − + + + + + ≤ +   ⇔ + − + + ≤ ⇔ − − ≥ ⇔ + − ≥  ÷   Luộn luôn đúng do 2t ≥ => đpcm PHẦN RIÊNG A. Theo chương trình chuẩn Câu VIa. 1. ( ) : 5 0, ,5x y E E m m∆ + − = ∈∆ => − Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của IE ta có 2 12 (12 , 1) 2 1 I K E I K E x x x m I m m y y y m = − = −  ⇔ => − −  = − = −  (11 ; 6) ( 6;3 ) (11 )( 6) ( 6)(3 ) 0 ( 6)(14 2 ) 0 6 0 6 14 2 0 7 MI m m KE m m MI KE m m m m m m m m m m = − − = − − ⇔ − − + − − = ⇔ − − = − = =   ⇔ ⇔   − = =   uuur uuur uuuruuur Với: + 6 (5,0)m MN= => = => uuuur phương trinh AB là: y = 5 + 7 (4,1)m MN= => = => uuuur phương trình AB là: 4 19 0x y− + = GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 6 Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 các môn Toán, Lý, Hoá, ….các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi 2. I(1;2;3), ( ) 1,2,3 ; 1 4 9 11 5I R = + + + = ( ) ;( ) 2.1 2.2 3 4 3 5 4 4 1 I P d R − − − = = < = + + => Vậy (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) Phương trình d đi qua I và vuông góc với (P): 1 2 2 2 3 x t y t z t = +   = −   = −  Gọi N là tâm, r là bán kính đường tròn (C ). ( ) 1 2 ;2 2 ;3N d N t t t∈ => + − − Vì ( ) 2(1 2 ) 2(2 2 ) 3 4 0 1N P t t t t∈ => + − − − + − = => = Vậy tâm đường tròn là N(3,0,2) và bán kính đường tròn 2 2 25 9 4r R IN= − = − = Câu VII.a 2 ' 9 9i∆ = − = do đó ta có 2 2 1 1 2 2 1 3 (1 9) (1 9) 20 1 3 z z i A z z z z i = = −  ⇒ = + = + + + =  = = − +  B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b 1. ( ) 2 2 : 4 4 6 0C x y x y+ + + + = có tâm I(-2,-2); 2R = Giả sử ∆ cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Kẻ đường cao IH của tam giác ABC, ta có 1 . sin 2 ABC S IA IB AIB SinAIB ∆ = = Để ABC S ∆ lớn nhất sin 1AIB ⇔ = ⇔ tam giác AIB vuông tại I 1 2 IA IH⇔ = = (thoả IH<R) 2 2 2 2 0 1 4 1 1 8 16 1 15 8 0 8 1 15 m m m m m m m m m =  −  ⇔ = ⇔ − + = + ⇔ − = ⇔  = +   2. 1 ( 1 ; ; 9 6 )M t t t− + − + ∈∆ 2 ∆ qua A(1,3,-1) có vecto chỉ phương (2,1, 2)a = − r ( 2; 3;6 8) (14 8 ;14 20;4 )AM t t t AM a t t t= − − − => ∧ = − − − uuuur uuuur r Mặt khác ta có: ( ) ( ) 2 2 , ,( ) 261 792 612 11 20 M M P d d t t t ∆ = ⇔ − + = − 2 1 35 88 53 0 53 35 t t t t =   ⇔ − + = ⇔  =   Vậy M(0,1,-3) hay 18 53 3 , , 35 35 35 M    ÷   Câu VII.b Điều kiện x,y > 0 GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 7 Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 các môn Toán, Lý, Hoá, ….các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log 1 log log log 2 log 3 81 3 3 log log 2 2 0 4 4 4 2 2 4 2 2 x xy y x xy y x y xy x y xy x y xy x y xy x y x xy y xy x xy y x y x x xy y y − + − +   + = + + = +   ⇔     = =     + =  + = − =    ⇔ ⇔ ⇔    − + = =  − + =     = = = −    ⇔ ⇔ ⇔    = = = −    Tài liệu được cung cấp bởi Trung tâm Luyện thi TẦM CAO MỚI Mọi chi tiết xin liên hệ: Tell: 01662 843844 Mail: giasutamcaomoi@Gmail.com hoặc giasutamcaomoi@Yahoo.com GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 8 . sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN; KHỐI A Thời gian làm bài: 180. không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………… : Số báo danh:…………………… ĐÁP ÁN Caâu I. GV: Trần Hải Nam