Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại D với PN là M’.. - Các cách giải khác cũng đợc cho điểm tơng đơng - Bài 5 mà không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm.
Trang 1Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008 Hớng dẫn chấm và biểu điểm đề chính thức
Môn: toán lớp 9 - bảng A
Gọi số cần tìm là abc (a, b, c ẻ N; a, b, c Ê 9, a ạ 0) (1)
Theo bài ra ta có:
100a 10b c 11 (2)
a b c 11 (3)
c chẵn (4)
0,5
Từ (2) , (3) ị 101a + 11b + 2c 11 ị 2(a + c) 11
do c chẵn và a + c = 11 ị (a; c) = (9; 2), (7;4), (5; 6), (3; 8)
Nên: 3 7 50 3 7 50 =2 hay 3 3
7 50 7 50 là số tự nhiên 0.5
Điều kiện xác định: {x Ê -1 hoặc
1 x 4
}
Đặt
2
2
4x 5x 1 a, (a 0)
2 x x 1 b, (b 0)
4x 5x 1 a 4x 4x 4 b
0.5
ị a 2 – b2 = a - b ị (a-b)(a+b-1) =0 Do b = 4x2 4x ị 4 b 3
Từ a – b =0 ị 9x – 3 = 0 ị
1 x 3
0.5
Với
1 x
3
thoả mãn bài ra, nên nghiệm phơng trình là:
1 x 3
0.5
Từ phơng trình xy – 2x – 3y = -6 ị (x - 3)(y – 2) =0
Thay x = 3 vào các phơng trình đầu và phơng trình thứ 2 của hệ ta đợc
yz 8
(y z) 4
yz 8
ị y z 2
yz 8
Trang 2Với y + z =2 mà yz = -8 ị y 4
do đó x = 3 Vậy nghiệm của hệ phuơng trình là: (x,y,z) = (3, 4, -2) 0.5
Với x, y là 2 số bất kỳ ta luôn có (x + y)2 Ê 2(x2 + y2) 0.5
Nên a, b 0 và a2 + b2 =1 ị (a+b)2 Ê 2 ị a+b Ê 2 (dấu = khi a=b=
1
2 ) 0.5 Mặt khác (a+b)2 = a2 + b2 +2ab = 1+ 2ab ị a + b 1 0.5
Xét P2 = 2 + 2(a +b) +2 1 2(a b) 4ab
do a+b Ê 2, ab Ê
1
2 (a2 + b2) ị ab Ê
1 2
0.5
Nên P2 Ê 2+ 2 2+2 1 2 2 2 ị P2 Ê 2+ 2 2+2 (1 2)2
ị P Ê 2 1 2 dấu = xẩy ra khi a =b =
1
2
Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 1 2
0.5
Mặt khác ta cũng có a + b 1 và ab 0 nên P2 2 + 2 + 2 1 2
ị P2 4 + 2 3
ị P 1 + 3, dấu “=” xảy ra khi ( a = 0, b = 1) hoặc ( a = 1, b = 0) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 + 3
0,5
Xét tích
(x – 1) (y - 1)(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z –1
= x + y + z -
x y z
0,5
mà x + y + z >
nếu cả 3 thừa số (x –1), (y – 1), (z – 1) đều dơng ị xyz > 1 (loại) 0.5 nếu cả 3 thừa số (x –1), (y – 1), (z – 1) đều âm ị (x –1)(y – 1)(z –
1)<0
Nếu 2 thừa số dơng, 1 thừa số âm ị (x –1)(y – 1)(z – 1)<0 (loại) 0.5 Nên phải có 2 thừa số âm, 1 thừa số dơng ị trong 3 số x, y, z có hai số bé hơn
Vậy trong 3 số x, y, z luôn có duy nhất một số lớn hơn 1 0.5
Trang 3Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại D với PN là M’ Do góc PDM’ = góc ABD (1/2 số đo
cung AD)
ị PDM' DPM' ị Tam giác M’PD cân tại M’
0.5
b Trên tia đối của tia DB lấy điểm Q sao cho DQ=DB ị QA//NO ị QA ^ NE ị A là trực tâm
Chú ý:
- Tổng điểm toàn bài là: 20,0 điểm
- Các cách giải khác cũng đợc cho điểm tơng đơng
- Bài 5 mà không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm.
Q
P
C M
B O
N
E H
D
A
F