Đề thi chọn HSG tỉnh Thanh hoá Năm học 2010 - 2011 Môn toán Lớp 9 THCS (thi ngày 24/3/2011) Câu I.(5,0 điểm). 1) Cho phơng trình: x 2 - 2mx + 2m - 1 = 0. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm 1 2 ,x x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2(1 ) x x P x x x x + = + + + khi m thay đổi. 2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 1 1 a b c + = . Chứng minh rằng 2 2 2 A a b c= + + là số hữu tỉ. (b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B x y y z z x = + + là số hữu tỉ. Câu II. (5,0 điểm). 1) Giải phơng trình : 2 2 10 . 1 1 9 x x x x + = ữ ữ + 2) Giải hệ phơng trình: 2 2 3 2 3 1 1 1 4 1 4 x x y y x x x y y y + + + = ữ + + + = Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lợt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính .BPE Câu IV. (4,0 điểm). Cho đờng tròn tâm O và dây cung AB cố định (O AB). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( P A,B và P khác trung điểm AB). Đờng tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A.Đờng tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B. Hai đờng tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P). 1) Chứng minh rằng ANP BNP = và bốn điểm O, D, C, N cùng trên một đờng tròn. 2) Chứng minh rằng đờng trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P do động Câu V ( 4,0 điểm) 1) Cho a 1 ,a 2 , ,a 45 là 45 số tự nhiên thoả mãn a 1 < a2 < < a 45 130. Đặt 1 ( 1,2, ,44) j j j d a a j + = = . Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu j d xuất hiện ít nhất 10 lần 2) cho ba số dơng a,b,c thoả mãn 2 2 2 2 2 2 2011a b b c c a+ + + + + = 2 2 2 1 2011 2 2 a b c cmr b c c a a b + + + + + . Đề thi chọn HSG tỉnh Thanh hoá Năm học 2010 - 2011 Môn toán Lớp 9 THCS (thi ngày 24/3 /2011) Câu I.(5,0 điểm). 1) Cho phơng trình: x 2 - 2mx + 2m - 1 = 0. Chứng minh phơng. 2 2 10 . 1 1 9 x x x x + = ữ ữ + 2) Giải hệ phơng trình: 2 2 3 2 3 1 1 1 4 1 4 x x y y x x x y y y + + + = ữ + + + = Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm. j d xuất hiện ít nhất 10 lần 2) cho ba số dơng a,b,c thoả mãn 2 2 2 2 2 2 2011a b b c c a+ + + + + = 2 2 2 1 2011 2 2 a b c cmr b c c a a b + + + + +