Đề thi HSG toán 9 tỉnh Thanh hóa năm học 2010 - 2011

Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lợt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.. Cho đờng tròn tâm O và dây cung AB

Đề thi chọn HSG tỉnh Thanh hoá

Năm học 2010 - 2011 Môn toán

Lớp 9 THCS (thi ngày 24/3/2011)

Câu I.(5,0 điểm).

1) Cho phơng trình: x 2 - 2mx + 2m - 1 = 0 Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm

1 , 2

x x với mọi m Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2

2 2

x x P

x x x x





   khi m thay đổi.

2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 1 1

abc Chứng minh rằng 2 2 2

A a b c là số hữu tỉ

(b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt Chứng minh rằng:

1 2 1 2 1 2

B

x y y z z x

Câu II (5,0 điểm) 1) Giải phơng trình :

10

2) Giải hệ phơng trình:

2

2 3

1 4

x x

y y

x x x

y y y





Câu III (2,0 điểm)

Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lợt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC Tính BPE.

Câu IV (4,0 điểm)

Cho đờng tròn tâm O và dây cung AB cố định (OAB) P là điểm di động trên đoạn thẳng

AB ( P A,B và P khác trung điểm AB) Đờng tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đờng

tròn (O) tại A.Đờng tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đờng tròn (O) tại B Hai đờng tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P).

1) Chứng minh rằngANPBNP và bốn điểm O, D, C, N cùng trên một đờng tròn

2) Chứng minh rằng đờng trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P do động

Câu V ( 4,0 điểm)

1) Cho a1,a2, ,a45 là 45 số tự nhiên thoả mãn a1 < a2 < < a45  130 Đặt

d a  a j Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít nhất 10 lần

2) cho ba số dơng a,b,c thoả mãn a2b2  b2c2  c2a2  2011

2 2 2 1 2011

cmr

b c caa b 