Đề thi HSG Toán 9 TpTH

SGD- Thanh hoá PGD- TP. Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi toán 9. (Vòng 2 ) Năm học: 2005- 2006 Thời gian 150 phút ( không kể chép đề) Bài1: a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 3x 2 + 2y 2 + z 2 + 2(2xy + yz + zx) = 26 b) Giải phơng trình ( ) ( ) 013141 2 2 2 =++ n n n xxx ( n N; n 2 ) Bài2: a) Giải hệ phơng trình =++++ =+ 0112 01 yyxyxyx x x yx b) Cho 0 0 90 0 Chứng minh: 2 1 Sin 3 + Cos 3 1 Bài3: Cho x, y, z là các số dơng ; x + y + z = 1 và A = xy + yz +zx - kxyz a) Với K = 10. Tìm GTNN của A. b) Với k = 2 4 1 . Tìm GTLN của A. Bài4 : Gọi I, G lần lợt là tâm đơng tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác ABC, với các cạnh AB = c; BC = a; CA = b. a) Chứng minh rằng : dt CIG = rba . 6 1 Với r là bán kính đờng tròn nội tiếp ABC b) Nếu a = c +1 ; b = c 1 Chứng minh : IG // AB. Tính IG. Hớng dẫn chấm môn toán lớp 9 Vòng 2- Năm học 2001- 20002 Bài1:(4đ) a) (2đ) Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình x 2 + (x+y) 2 +(x+y+z) 2 = 26 vì x, y, z Z + x 2 < (x+y) 2 < (x+y+z) 2 < 26 hay 3x 2 < 27 x 2 < 9 x 2 = 1 ; 4 Xét x 2 =1 (x+y) 2 +(x+y+z) 2 = 25 (x+y) 2 < 25 < 26 (x+y) 2 < 13 < 16 (x+y) 2 = 4 ; 9 Nếu (x+y) 2 = 4 (x+y+z) 2 = 21 (loại) Nếu (x+y) 2 = 9 (x+y+z) 2 = 16 Lúc này x = 1 ; x+ y = 3 ; x+y+z = 4 y = 2 ; z = 1 Xét x 2 = 4 (x+y) 2 +(x+y+z) 2 = 222(x+y) 2 < 22 (x+y) 2 < 11 < 16 (x+y) 2 > x 2 = 4 (x+y) 2 = 9(x+y+z) 2 = 13 (loại) (1đ). Vậy phơng trình chỉ có nột nghiệm (x ; y ; z ) = (1 ; 2 ; 3) b) (2đ) Xét x = 1 003044 =+ nn n vô lí x 1 ta có phơng trình tơng đơng n n x x x x 1 1 4 1 1 2 + + + 3 = 0 Phơng trình tồn tại (với n chẵn) x 2 -1 0 (1đ) Đặt 1 1 + x x n = t t 2 4t + 3 = 0 t 1 = 3 ; t 2 = 1 t 1 = 3 : n x x 1 1 + = 3 1 1 + x x = 3 n x = 13 13 + n n ( Thoã mãn điều kiện do n 2) t 2 = 1: n x x 1 1 + = 1 x +1 = x 1 2 = 0 vô lí Vậy phơng trình chỉ có một nghiệm x = 13 13 + n n (1đ). Bài 2: (4đ) a) (2đ) Giải hệ phơng trình =++++ =+ 0112 )1(01 yyxyxyx x x yx đ/k: x 0 ; x R y R Vì x 0 ta xét 2 trờng hợp 1) với x < 0, Khi đó phơng trình (1) trở thành 011 =+ x x x yx = -2 Vô lí Do đó hệ phơng trình vô nghiệm (1đ) 2) với x > 0; Khi đó phơng trình (1) trở thành 111 =+ x x x yx = 0 x = y (3) Thay (3) vào (2) ta đợc 121120112 +++=++++ xxxxxxxxxxx = - (2x -1) (vì x>0) Điều này chứng tỏ 2x 1 0 x 2 1 vậy 0< x < 2 1 Do đó hệ có nghiệm là << = 2 1 0 x yx Vậy với x < 0 hệ vô nghiệm. Với x > 0 hệ có nghiệm << = 2 1 0 x yx (1đ) b) (2đ). Đặt Sin = x ; Cos = y do 0 0 90 0 0 x ; y 1 và x 2 + y 2 = 1 23 23 yy xx x 3 + y 3 x 2 + y 2 1 hay Sin 3 + Cos 3 1 (1đ) Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) yxyx yxyx yx +=+ ++ += 2 2 22 22 2 2 22 = x + y (x ; y 0) yx + 1 2 1 . Ta chứng minh x 3 + y 3 yx + 1 (*) Bất đẳng thức (*) ( x+y ) 2 (x 2 xy + y 2 ) 1 ( x 2 + y 2 + 2xy ) ( x 2 xy +y 2 ) 1 ( do x 2 + y 2 = 1 ) ( 1 + 2xy ) (1 2xy) xy 2xy 1 (x y ) 2 0 ( đúng ) x 3 + y 3 2 1 Sin 3 + Cos 3 2 1 Vậy 2 1 Sin 3 + Cos 3 1 (1đ) Bài 3: (6đ) a) (3đ). Với k =10. Tìm GTNN của A. Với x,y,z > 0 ta có ( x + y+ z) ( ) 111 zyx ++ 9 ( do x+y+z = 1 ) yz + xz +xy 9xyz yz + xz +xy 10 -xyz A - xyz ( 1đ) Mổt khác vì x,y,z > 0 theo bất đẳng thức cô si ta có : Xyz 27 1 3 3 = ++ zyx . Do đó A 27 1 dấu = xảy ra khi =++ == 1zyx zyx x = y = z = 3 1 Vậy min A = 27 1 x = y = z = 3 1 b) (3đ) với k = 2 4 1 . Tìm GTLN của A Ta luôn có : x 2 x 2 (y z ) 2 ; y 2 y 2 (z x ) 2 ; z 2 z 2 (x y ) 2 ( 1đ) Nên z 2 y 2 z 2 ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 yxzxzyzyx z 2 y 2 z 2 (x+y-z ) 2 (y+z-x) 2 ( z+x-y) 2 z 2 y 2 z 2 (1-2z ) 2 (1-2x) 2 ( 1-2y) 2 xyz 1 2 ( x+y+z ) + 4 ( xy + yz + zx ) 8 xyz 9xyz + 1 4 ( xy + yz + zx ) (1đ ) ( xy + yz + zx ) 4 9 4 1 xyz + xy + yz + zx - 2 4 1 xyz 4 1 A 4 1 dấu = xảy ra === =++ 0; 2 1 1 Zyx zyx Vậy maxA = 4 1 x = y = z = 2 1 z = 0 ( chẳng hạn) ( 1đ ) Bài 4. ( 6 đ) a) (3đ). Gọi CL; CM lần lợt là phân giác ; trung tuyến kẻ từ C của ABC Ta có CG = 3 2 CM S CIG = 3 2 S CIM S CIM = S CLM - S ILM = 2 1 LM. h 2 - 2 1 LM.r = 2 1 LM (h 2 - r ) ( h 2 là đờng cao hạ từ C ; r là bán kính đờng tròn nội tiếp) Từ AL + LB = c; a b LB AL = ( tia phân giác ) ba bc AL ba b AB AL + = + = ( 1đ) do đó LM = )(22 ba bac ba bcc ALAM + = + = ( AM = 2 c ) Lại có h 2 r = c bar c cpr r c rp r c S ABC )()2(.22 + = == ( 2p = a+b+c) ( 1đ) Suy ra S CIM = 2 1 rba c bar ba bac = + 4 1)( . )(2 S CIG = 3 2 S CIM = 3 2 . rbarba = 6 1 4 1 ( dpcm ) ( 1đ ) b) ( 3đ) Theo giả thiết ta có: a = c+1; b = c-1 a > b và a + b = 2c 2p = 3c a b = 2 Nhận thấy khoảng cách từ I và G đến AB lần lợt là r và 3 c h A C I G L M a b B Mà r = 33 . 2 . cccABC h c hc p hc p S === IG // AB (1đ) Nếu kẻ đờng cao từ C của CIG thì độ dài đờng cao bằng 2 3 2 h = 2r S CIG = IG . r ( 1đ ) Mặt khác theo kết quả câu a ta có: S CIG = rrbarba 3 1 ).( 6 1 6 1 == ( a > b; a b = 2) Do đó IG . r = 3 1 r IG = 3 1 . ( 1đ ) HS: giải bằng cách khác đúng cho điểm tối đa - Lời chứng minh đúng nhng không có hình vẽ hoặc hình vẽ không phù hợp lời chứng minh không cho điểm. - Vẽ hình, gt, kl đúng nhng không có lời chứng minh không cho điểm. . SGD- Thanh hoá PGD- TP. Thanh Hoá Đề thi học sinh giỏi toán 9. (Vòng 2 ) Năm học: 2005- 2006 Thời gian 150 phút ( không kể chép đề) Bài1: a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng. < 9 x 2 = 1 ; 4 Xét x 2 =1 (x+y) 2 +(x+y+z) 2 = 25 (x+y) 2 < 25 < 26 (x+y) 2 < 13 < 16 (x+y) 2 = 4 ; 9 Nếu (x+y) 2 = 4 (x+y+z) 2 = 21 (loại) Nếu (x+y) 2 = 9 (x+y+z) 2 . tròn nội tiếp ABC b) Nếu a = c +1 ; b = c 1 Chứng minh : IG // AB. Tính IG. Hớng dẫn chấm môn toán lớp 9 Vòng 2- Năm học 2001- 20002 Bài1:(4đ) a) (2đ) Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình