SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN : TỐN Câu x x x 1 x x x 4 a) Rút gọn P : x x x x x x x 0 b) Cho a 50 , b 50 Chứng minh biểu thức M a b; N a7 b7 có giá trị số chẵn Câu a) Giả sử x1; x2 hai nghiệm phương trình x2 2kx ( k tham số) Tìm 2 x x giá trị k cho x2 x1 x x y b) Giải hệ phương trình: y y x Câu a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 y x y x y x 1 b) Cho n * Chứng minh 2n 3n số phương n chia hết cho 40 Câu Cho đường tròn O; R điểm A cố định bên ngồi đường tròn, OA 2R Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn O ( B, C tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt dây BC I Gọi M điểm di động cung nhỏ BC Tiếp tuyến M đường tròn O cắt AB, AC E, F Dây BC cắt OE, OF điểm P Q a) Chứng minh ABI 600 tứ giác OBEQ nôi tiếp b) Chứng minh EF PQ c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC cho tam giác OPQ có diện tích nhỏ Tính diện tích nhỏ theo R Câu x3 y P Cho x, y, z thỏa mãn x y z Tìm GTLN x yz y zx z xy ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: P : x x x 1 x 1 Ta có : a 1 x x x 5 x 2 b) x 2 x 1 : x x 1 b x 1 x Do M số chẵn a b 2 Ta lại có: a b a b 2ab , đó: ab 1 N a b7 a a 4b3 b7 a 3b a 4b3 a 3b a b3 a b a 3b3 a b a b a b2 ab a b2 2a 2b 478 số chẵn Câu a) Để phương trình có nghiệm ' k k x x 2k Ta thấy x nghiệm, theo Vi-et x1 x2 2 x x x14 x24 48 x2 x1 x12 x22 x12 x22 48 x1 x2 x1 x2 80 2 4k 80 k 2 k 2 52 2 k 2 2 y y xy x x 2 y x b) Ta có: x x y y x 2 y x 2 2 x y xy y y 2x y y y 2x 2 x y 2 x y 2 y y xy x Suy x y x y 3 Vì 2 x x xy y 2 x y x y0 y x Do x y x y nghiệm hệ phương trình Câu a) Phương trình tương đương x y x y 1 xy x y Suy xy x2 y xy 2 x2 y 1 x2 y 4 x2 y 1 x2 y 5 x2 y 1 x2 y 1 x2 y 11;5 x y 0;4 xy 2;0;2 Xét xy x y x; y 0;2 ; 2;0 Xét xy 2 x y y x x 2(ktm) Xét xy x y (ktm) Vậy x; y 0;2 ; 2;0 2n a b) Đặt với a, b *, suy a 2n 1là số lẻ nên a lẻ 3n b Do đó: 2n a 1 a 1 n 3n b2 số lẻ nên b lẻ Đặt b 2c 1 c * Ta có: 3n 2c 1 4c c 1 n (1) Mặt khác số phương chia cho dư 0;1hoặc Do - Nếu n chia cho dư 2n 1chia cho dư 3, vơ lý - Nếu n chia cho dư 3n+1 chia cho dư 2, vô lý - Nếu n chia cho dư 2n+1 chia cho dư 2, vô lý - Nếu n chia cho dư 3n +1 chia cho dư 3, vô lý Vậy n (2) Từ (1) (2) suy n chia hết cho 40 Câu H B E P M I A O Q F C K a) Ta chứng minh OA BC I OB Do đó, cos ABI cos AOB ABI 600 OA Mặt khác EOF FOM EOM COM BOM BOC AOB 600 2 EOF ABI OBEQ nội tiếp b) Ta có OQP OEB OEF OQP OEF Mặt khác OBE OQE 1800 mà OBE 900 PQ OQ (1) EF OE OQE 900 OEQ 900 EOF 300 sin OEQ OQ 2 OE Từ (1) (2) suy EF 2PQ c) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB AC K H EF S OM EF R.EF Vì OQP OEF nên SOPQ OEF SOEF PQ 4 8 R Vì K BOI 600 HC KB OB.cot K OB.cot 600 Lại có EF FM EM FC EB HF HC KE KB SOPQ 2R Mặt khác, ta chứng minh HFO OFE KOE OFE nên HF HO R 4R HFO KOE HF KE OK OH OK OK KE sin 60 HF KE HC KB HF KE HC HF KE R2 R.EF R Khi M Do đó, SOPQ Diện tích tam giác OPQ nhỏ 12 12 điểm cung BC Câu x yz y zx z xy x yz y zx z xy Ta có: P x3 y y x x2 y 2 2 4z x y x x z z z z 1 1 z z 1 1 z z xy xy y y x y y x 2 4z z z 1 12 z 1 z z 2 z z 12 z 1 z 1 12 z 1 z z 1 6 z 8 z Áp dụng BĐT Cô si ta có: 2 12 3 z 1 z z 729 6 33 P P z 1 4 729 z 1 8 2 Vậy GTLN P , đạt x y 2, z 729