Đáp án một đề HSG Toán 9

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN GV: Phạm Thị Hằng - Trường THCS Ngọc Trung Câu ý Nội dung Thang điểm 1 a Điều kiện: x≠3 3x x35 )3x( )3x)(x35( A 2 − − = − −− = 0,5 1 b Ta có: 210)15(416206416x −=+−=+−= 3210 231035 3210 )210(35 A −− −− = −− −− =⇒ 1 1 c 2 3x x35 2A = − − ⇔= (*). Điều kiện:       ∈⇔≥ − − 3; 3 5 x0 3x x35 7 17 x)3x(4x35(*) =⇔−=−⇔ Kết luận: 7 17 x = thì 2A = 0,5 0,5 0,5 2 a Pt: 33 =++ xx Điều kiện: 0 ≥ x Đặt: 3 x t;(t 3)+ = ≥ khi đó ta có hệ ( )( )         =+ =+−+ ⇔ =+ =+ 3 01 3 3 tx txtx tx tx       = = ⇔ =++ += ⇔ 1 4 31 1 x t xx xt Vậy phương trình có nghiệm x = 1 0,5 0,5 0.5 0,5 b 3 x y 9 3x y 6  =  + =  Dễ thấy x, y > 0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 3 4 4 4 6 6 3x + y 4. x y 4. 9 9 4 = ≥ = ⇒ ≥ . Vô lí. Vậy hệ đã cho vô nghiệm. 0,5 1 0,5 3 K H M B A C Kẻ đường cao AH của tam giác ABC và đường cao AK của tam giác cân AMC. ΔABH vuông, có µ B = 30 0 nên AH = 1 2 AB (1) ΔAMC cân tại A nên AK là đường phân giác và đường trung tuyến, do đó · 0 1 CAK 50 ,CK CM 2 = = (2). Hai tam giác vuông AHC và CKA có AC là cạnh chung, · · 0 ACH CAK 50= = , do đó ΔAHC = ΔCKA ⇒ AH = CK (3). 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu ý Nội dung Thang điểm Từ (1), (2), (3) ta có AB = CM. 0,5 4 a Ta có · · ABC ADB= cùng chắn cung AB. · · ACB ABD= cùng chắn cung AB ⇒ ΔABC đồng dạng với ΔADB (g.g) (1) (1) ⇒ AB AC AD AB = ⇒AB 2 = AC.AD 0,25 0,25 0,25 0,25 b C D B O A O' E (1) ⇒ 2 2 BC AC AB BC AC AB AC . BD AB AD BD AB AD AD = = ⇒ = = Ta lại có · · · · · 0 OBC OBD CBD 90 CBD BDO'= − = − = ⇒ΔCOB đồng dạng với ΔDO'B (g.g) ⇒ BC OC R BD O'D R ' = = 0,5 0,5 0,5 0,5 c Ta có · · · · CAB DAB EAC DAE= ⇒ = Mặt khác: AC AB AB AD = , mà AE = AB ⇒ AC AE AE AD = ⇒ ΔCAE đồng dạng với ΔEAD (g.g) ⇒ · · AEC ADE= Do đó · · · · · · CED CEA DEA ADE DAE BAD= + = + = Mà · · · · · · · · 0 BAD ABD BAD CBA ABD BAD ADB ABD 180+ = + + = + + = ⇒ · · 0 CED CBD 180+ = ⇒ Tứ giác CBED nội tiếp được trong đường tròn. Hay 4 điểm B, C, E, D cùng nằm trên cùng một đường tròn. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 5 Biến đổi P trở thành P = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 = x 4 + 2x 3 + 2x 2 + x 2 + 2x + 1= x 4 + 2x 2 (x + 1) + (x + 1) 2 = (x 2 + x + 1) 2 vì 2 2 2 1 3 3 (x + x + 1) x 2 4 4   = + + ≥  ÷   , mà x 2 + x + 1 > 0 nên min(x 2 + x + 1) = 3 1 x 4 2 ⇔ = − Vậy MinP = 2 3 9 1 x 4 16 2   = ⇔ = −  ÷   1 1 0,5 0,5 . HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN GV: Phạm Thị Hằng - Trường THCS Ngọc Trung Câu ý Nội dung Thang điểm. 1 0,5 0,5 0.5 0,5 b 3 x y 9 3x y 6  =  + =  Dễ thấy x, y > 0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 3 4 4 4 6 6 3x + y 4. x y 4. 9 9 4 = ≥ = ⇒ ≥ . Vô lí. Vậy