Đề thi HSG Toán 9 năm 20162017 Phòng GDĐT Phù Ninh có đáp án

Cho AB là đường kính của đường tròn O; R.. C là một điểm thay đổi trên đường tròn C khác A và B, kẻ CH vuông góc với AB tại H.. c Chứng minh K là trung điểm của CH d Xác định vị trí của

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

I PHẦN TRẮC NGHIỆM: 4,0 điểm (mỗi câu đúng được 0,5 điểm)

Thí sinh chọn đáp án đúng và viết kết quả vào tờ giấy thi

Câu 1: Với (1 3 ) x 2  4, ta có:

A) x = - 1 B) x = - 5

3

C) x1 = 1; x2= -5

3 D) x1= -1; x2=

5 3

Câu 2 : Biểu thức

2 , ( 0 )

x y

y  bằng biểu thức nào sau đây:

A) x

x y

C) x

y

Câu 3: Rút gọn biểu thức: 12 2 2 1

a

 với a > 1, được kết quả là:

A) 6 B) - 6 C) 6 (1 – a) D) Một kết qủa khác

Câu 4: Rút gọn biểu thức 1 2 36 2

48 ( 1)

a a



 với a < 1, được kết quả là:

A) 1

-1 8

C) 1

8 (1 + a ) D)

1

8 (1 – a2)

Câu 5: Rút gọn biểu thức E = a.b2

(a-b)

a b a



với 0 < a < b, được kết quả là:

A) E = b B) E = - b

C) E = - a b D) E = a b

Câu 6: Cho biểu thức 2

2

x x



 Điêù kiện xác định của biểu thức là:

A) x > 4 B) x > 0 và x4

C) x0 D) x0 và x4

Câu 7: Cho hình vẽ bên có cạnh huyền dài 3cm, góc nhọn 650

Độ dài cạnh góc vuông kề với góc 650gần bằng giá trị nào sau đây

Câu 8: Cho tam giác ABC có Â = 900, AH vuông góc với BC, sinB = 0,6

Kết quả nào sau đây là sai:

A) cos C = AH

AC B) cos C = sin HAC C) cos C = 0,6 D) cos C = CH

AC

II PHẦN TỰ LUẬN: 16,0 điểm

Bài 1: (2,0 điểm)

Chứng minh rằng số có dạng n6– n4+ 2n3+ 2n2trong đó nN và n > 1 không phải là số chính phương

Bài 2: (4,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M y x 1 x y 4

xy



Bài 3: (4,0 điểm)

Chứng minh rằng nếu    



  với x y yz , 1,xz1,x0,y0,z0

x y z

    

Bài 4: (6,0 điểm)

3 65

Cho AB là đường kính của đường tròn (O; R) C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Gọi I là trung điểm của AC; OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M; MB cắt CH tại K

a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R)

c) Chứng minh K là trung điểm của CH

d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017

Môn: Toán

I PHẦN TRÁC NGHIỆM: 4,0 điểm Đúng mỗi câu được 0,5 điểm

II PHẦN TỰ LUẬN: 16,0 điểm

Bài 1: Chứng minh rằng số có dạng n6– n4+ 2n3+ 2n2trong đó nN và n >1 không phải

là số chính phương

1 n6– n4+ 2n3 + 2n2= n2.(n4– n2+ 2n + 2)

= n2.[n2(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)]

= n2[(n + 1)(n3 – n2+ 2)]

= n2(n + 1).[(n3+ 1) – (n2- 1)]

= n2(n+1)2.( n2– 2n + 2)

Với nN, n >1 thì n2- 2n + 2 = (n - 1)2+ 1 > (n – 1)2

và n2– 2n + 2 = n2– 2(n - 1) < n2

Vậy ( n – 1)2< n2– 2n + 2 < n2 n2– 2n + 2 không phải là một số

chính phương

0,5 0,5

0,5 0,5

2

Với điều kiện x1,y4 ta có: M = x 1 y 4







Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,

Ta có: 1 1 1 1 1

x  x    

2

x x



  (vì x dương)

Và: 4 1 4 4 1 4 4

0,25 0,5 0,5 0,5 0,75

4 1 4

y

y



  (vì y dương)

Suy ra: M = 1 4 1 1 3

2 4 4

y x





Vậy giá trị lớn nhất của M là 3

4  x = 2, y = 8

0,5 0,5 0,5

3

   

x yz y xz

x2 yz y xyz   y2 xz x xyz  

x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz

x y xy2 2 x yz xy z3 3  x z y z2 2  x yz2 2 xy z2 2 0

0

xy xyz x y z x y xyz

       (vì x   y x y 0)

xy xz yz xyz x y xyz

xyz x y xyz

xy xz yz

 

 

1 1 1

x y z

x y z

     

0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

4 Hình vẽ

a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng

thuộc một đường tròn

Chứng minh OI  AC OIC vuông tại

I => I thuộc đường tròn đường kính OC

 

CH  AB gt  CHO vuông tại H => H

thuộc đường tròn đường kính OC

=> I, H cùng thuộc đường tròn đường kính

OC Hay 4 điểm C, I, H, O cùng thuộc

một đường tròn đường kính OC

1,5

b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O, R)

- Chứng minh AOM COM

- Chứng minh AOM  COM

- Chứng minh MC CO

MC

 là tiếp tuyến của (O, R)

1,5

c) Chứng minh K là trung điểm của CH

MAB

 có KH // MA ( vì cùng  AB)

KH

Chứng minh CB // MO AOM CBH ( đồng vị)

Chứng minh MAO CHB MA AO CH AM HB. AM HB.

Từ (1) và (2) CH = 2CK  CK = KH  K là trung điểm của CH

1,5

d) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt GTLN? Tìm

GTLN đó?

Chu vi tam giác ACB là: PACB  AB AC CB  2R AC BC 

Ta lại có:

AC CB  AC BC  AC BC AC BC  AC CB

2

Đẳng thức xảy ra khi AC = CB  M là điểm chính giữa cung AB

Suy ra PACB 2R2R 2 2 1 R  2

Dấu bằng xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB

Vậy MaxPCAB 2 1R  2 M là điểm chính giữa cung AB

1,5