PHÒNG GD&ĐT HOÀI ĐỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (ĐỀ CHÍNH THỨC) NĂM HỌC 2009-2010 MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài 150 phút, không tính thời gian giao đề ) Câu 1: (3 điểm) Cho a > 0, b > 0. Rút gọn biểu thức: a 2 a b b a + + b 2 a b b a + 2 a ab ab + + 2 a ab ab + Câu 2: (3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 2 4x x− + − và áp dụng để giải phương trình: 2 4x x− + − = x 2 – 6x + 11 Câu 3: (3 điểm) Cho hàm số: y = mx +m + 1 (d) (m là tham số) a) Tìm m để đồ thị hàm số (d) cắt đường thẳng y = -2 tại điểm có hoành độ bằng 1 ? b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đồ thị hàm số (d) bằng (đơn vị đo trên các trục toạ độ là centimet) Câu 4: (3 điểm) Hai trường A và B của một phường có tổng cộng 480 học sinh thi đỗ vào lớp 10 THPT, đạt tỷ lệ trúng tuyển 96%. Tính riêng thì trường A đỗ 94%, trường B đỗ 99%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh thi đỗ vào lớp 10 THPT? Câu 5: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho AM = CN. Gọi E là trung điểm của MN. Tia DE cắt tia BC tại F. Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DF tại H. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MFNH là hình thoi b) ND 2 = NB.NF c) Chu vi tam giác BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB. Câu 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC=b, đường phân giác trong AD=d. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của D trên AB và AC. a) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF ? b) Chứng minh: 2 d = 1 b + 1 c c) Chứng minh: 1 sin 2 A + 1 sin 2 B + 1 sin 2 C > 6 HẾT ( Cán bộ coi thi không giải thích bất cứ điều gì ) -1 -1 -1 -1 PHÒNG GD&ĐT HOÀI ĐỨC ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN Câu 1: (3 điểm) Có: a 2 a b b a + + b 2 a b b a + = a. 2b a a b+ + b. 2a b a b+ = 2 2 )ab a ab b a b + + = 2 .( )ab a b a b + + = 2ab Có: 2 a b b a + + 2 a b b a + = 2 ( ) ab a a b+ + 2 ( ) ab b a b+ = 2ab [ 1 ( )a a b+ + 1 ( )b a b+ ] = 2ab. ( ) a b ab a b + + = 2 ab Vậy Kết quả là 2ab : 2 ab = ab 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ Câu 2: (3 điểm) áp dụng bất đẳng thức: 2 (a 2 + b 2 ) ≥ (a + b) 2 ⇒ 2 (x - 2 + 4 - x) ≥ ( 2x − + 4 x− ) 2 ⇔ 4 ≥ ( 2x − + 4 x− ) 2 ⇒ y ≤ 2 Kết luận: Giá trị lớn nhất của y là 2 Mặt khác : x 2 - 6x + 11 = (x - 3) 2 + 2 ≥ 2 ∀ x Do đó: 2x − + 4 x− = x 2 - 6x + 11 2x − + 4 x− = 2 ⇔ x 2 - 6x + 11 = 2 ⇔ x = 3 Kết luận 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Câu 3: (3 điểm) a) Đồ thị HS (d) cắt đt y = -2 tại điểm có hoành độ = 1 Ta có x = 1 thì y = -2 Thay vào tính được m = - 1,5 Kết luận b) Chia m = 0 thì K/c = 1 ≠ 2 m = -1 thì K/c = 0 ≠ 2 Vậy có m ≠ 0; m ≠ 1 ĐTHS (d) cắt Oy tại A (O; m+ 1) nên OA = ﺍm+1ﺍ cắt Ox tại B ( ( 1)m m − + ; 0) nên OB = ( 1)m m − + Gọi h là k/c từ gốc O đến ĐT (d) có 2 1 h = 2 1 OA + 2 1 OB Thay h = 2 , tính được m = 1 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 4: (3 điểm) Số học sinh dự thi của 2 trường là 480 : 96 100 = 500 (học sinh) Gọi số học sinh dự thi của trường A là x (x nguyên; 0<x<500) 0,25đ 0,25đ -1 -1 -1 -1 Phương trình: 94 100 x + 99 100 (500 – x) = 480 ⇒ x = 300 (thoả mãn điều kiện) Vậy số học sinh dự thi của trường A là 300 học sinh số học sinh dự thi của trường B là: 200 (học sinh) Số học sinh thi đỗ của trường A là: 300 . 94 100 = 282 (học sinh) Số học sinh thi đỗ của trường B là: 480 - 282 = 198 (học sinh). 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ Câu 5: (4 điểm) Vẽ hình đúng a) ΔAMD = ΔCND (c.g.c) ⇒ DM = DN và D 1 = D 2 ⇒ MDN = 90 o Và ΔDMN vuông cân ΔEMH = ΔENF (g.c.g) ⇒ EH = EF ⇒ MFNH là hình thoi (đpcm) b) ΔFDN và ΔDBN có FDN = DBN = 45 o ; N chung ⇒ ΔFDN ΔDBN (g.g) ⇒ ND 2 = NB.NF (đpcm) c) Chu vi ΔBMF = BM + BF + MF = BM + BF + FN = BM + BF + FC + CN = (BM + AM) + (BF + FC) = 2AB (không đổi) (đpcm) 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ Câu 6: (4 điểm) Vẽ hình đúng a) Chứng minh AEDF là hình vuông Tính được mỗi cạnh = 2 2 d Tính chu vi = 2d 2 2 ; S = 1 2 d 2 b) S ΔABD = 2 4 cd; S ΔACD = 2 4 bd; S ΔABC = 2 4 bc ⇒ 2 bd + 2 dc = 2bc ⇒ 1 b + 1 c = 2 d (chia 2 vế cho 2 dbc) (đpcm) c) Kẻ BH và CK vuông góc với AD có: sin 2 a = BH AB = CK AC = BH CK AB AC + + ≤ BC AB AC+ ⇒ 1 sin 2 A ≥ AB AC BC + Tương tự có 1 sin 2 B ≥ AB BC AC + ; 1 sin 2 C ≥ AC CB AB + Chú ý không đồng thời xẩy ra dấu " = " vì ΔABC không đều Cộng từng vế chỉ ra được đpcm 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ . HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN Câu 1: (3 điểm) Có: a 2 a b b a + + b 2 a b b a + = a. 2b a a b+ + b. 2a b a b+ = 2 2 )ab a ab b a b + + = 2 .( )ab a b a b + + = 2ab Có: 2 a b b a + + 2 a. ΔDBN (g.g) ⇒ ND 2 = NB.NF (đpcm) c) Chu vi ΔBMF = BM + BF + MF = BM + BF + FN = BM + BF + FC + CN = (BM + AM) + (BF + FC) = 2AB (không đổi) (đpcm) 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ Câu. b + + = 2ab Có: 2 a b b a + + 2 a b b a + = 2 ( ) ab a a b+ + 2 ( ) ab b a b+ = 2ab [ 1 ( )a a b+ + 1 ( )b a b+ ] = 2ab. ( ) a b ab a b + + = 2 ab Vậy Kết quả là 2ab : 2 ab = ab 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ Câu