Trờng THCS Nam Tân - Tích luỹ chuyên môn. Đề thi HS giỏi huyện năm học 2008 - 2009. Môn : Toán. Thời gian làm bài: 120 phút. Lớp 9. Bài 1: a(2 điểm), Rút gọn các biểu thức sau: 6 2 5 6 2 5; 2 2 4 2 2 4M N x x x x= + = + + b(2 điểm), So sánh: 15 63+ với 147 ; 3 3 5+ với 6 4 5 . Bài 2: Cho hệ phơng trình tham số m: ( ) ( ) 2 2 1 5 2 5 2 m x y x m mx y x m + = + = a(2 điểm), Giải hệ khi m = 3. b(2 điểm), Tìm m để các đờng thẳng (1) và (2) song song với nhau. Bài 3(2 điểm): Giải phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2008 2008 2009 2009 19 49 2008 2008 2009 2009 x x x x x x x x + + = + Bài 4: Cho biểu thức: A = 2 2 4 4x x+ + a(2 điểm), Tìm tập xác định của A rồi tìm x để A = 5 3+ . b(2 điểm), Tìm GTNN và GTLN của A. Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, góc A nhọn. Đờng cao BE và đờng cao AD cắt nhau tại H. Đờng tròn tâm O đờng kính AH cắt AB tại điểm thứ hai F. a(2 điểm), Chứng minh 3 điểm C, H, F thẳng hàng. b(2 điểm), Chứng minh ADC BDH , từ đó tính HD biết BC=8 cm, AD=12 cm. c(2 điểm), Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O đờng kính AH. Bài Giải: Bài 1: a, Rút gọn: * ( ) ( ) 2 2 5 1 5 1 5 1 5 1 2M = + = + + = * ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 N x x x x = + + = + + TH1: x 4 2 2N x = TH2: 2 x < 4 0 2x < 2 2 2N = b, So sánh: * GV: Phạm Thị Phơng. 1 Trờng THCS Nam Tân - Tích luỹ chuyên môn. 15 63 16 64 4 8 12 12 144 147 15 63 147 + < + = + = = < + < * Xét hiệu: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 6 6 6 6 6 6 3 5 4 5 4 2.2. 5 5 1 2 5 1 1 5 3 5 + = + = = Ta lại có: 6 6 6 1 5 1 5 0 = < 6 6 6 6 3 5 3 5 0 = > 3 6 3 5 4 5 0 + < hay 3 6 3 5 4 5+ < Bài 2: Hệ phơng trình tham số m: ( ) ( ) 2 2 1 5 2 5 2 m x y x m mx y x m + = + = a, Giải hệ khi m = 3. m = 3 hệ phơng trình trở thành: 9 3 2 3 5 6 5 x y x x y x + = + = 8 5 8 5 1 2 11 6 6 13 x y x y x x y x y = = = + = = = b, Hệ đã cho tơng đơng hệ pt sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 5 2 5 2 y m x m y m x m = + + = + + Đờng thẳng (1) và (2) song song khi: TH1: 2 1 5 0 2 2 5 m m VN m m = = + + TH2: 2 1 5 0 2 2 5 m m m m = + + 2 1; 5; 6 0 3 m m m m m + = ( ) ( ) 1; 3;5 1; 3;5 2 3 3 2 0 2 m m m m m m m = = + = = Bài 3: Giải phơng trình: Đặt 2008 - x = a x - 2009 = - (2009 - x) = - (a + 1) Ta đợc phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 19 49 1 1 a a a a a a a a + + + = + + + + (3). ĐKXĐ: 3a 2 + 3a + 1 0 a (Vì 0; 0a < > ) x . ( ) ( ) ( ) 2 2 3 49 1 19 3 3 1 0a a a a + + + + = 2 4 4 15 0a a + = GV: Phạm Thị Phơng. 2 Trờng THCS Nam Tân - Tích luỹ chuyên môn. ' 2 4 60 64 8 a = + = = 1 2 2 8 3 4 2 2 8 5 4 2 a a + = = = = TH1: 1 3 2008.2 3 4013 2 2 2 a x = = = TH2: 2 5 2008.2 5 4021 2 2 2 a x + = = = Vậy phơng trình có 2 nghiệm x. Bài 4: 2 2 4 4A x x= + + a, ĐKXĐ của A: 2 4 0 2 2x x ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 4 4 5 3 4 4 2 4 4 8 2 15 16 15 16 15 1 A x x x x x x x x x TM = + + + = + + + + + = + = = = b, * áp dụng BĐT Bunhia cho 4 số không âm: 1; 2 4 x+ ; 2 4 x ; 1 ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 1 1 4 4x x x x+ + + + + 2 2 4 4 4A x x = + + Vậy GTLN của A bằng 4 đạt đợc khi 2 2 4 4 0x x x+ = = . * Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 8 2 4 4 8 2 2 A x x x x A A = + + = + + Dấu bằng xảy ra khi ( ) ( ) 2 2 2 4 4 0 4 2.x x x x+ = = = Vậy GTNN của A bằng 2 2 đạt đợc khi 2x = . Bài 5: O F B H D C E A a, Do { } AD BE H = H là trực tâm của .ABC CH AB Mặt khác ã 0 90AFH = (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) HF AF hay HF AB . GV: Phạm Thị Phơng. 3 Trờng THCS Nam Tân - Tích luỹ chuyên môn. Từ đó suy ra C, H, F thẳng hàng. b, Xét ;ADC BDH có: ã ã 0 90ADC BDH= = ã ã DAC DBH= (cùng phụ với ã ACB ) ADC ( ) BDH g g 2 2 . 8 4 4. 4.12 3 AD DC DC BD BC DH BD DH AD AD = = = = = c, Do B, H, E thẳng hàng và BE AC HE AE E thuộc đờng tròn tâm O đờng kính AH (1). Ta có: BEC vuông tại E, ED là trung tuyến ứng với cạnh BC 1 2 ED BD CD BC = = = DBE cân tại D ã ã DBE DEB = Mặt khác: OAE cân tại O ã ã OEA OAE = Mà ã ã OAE DBE= (c/m câu b) ã ã ã OEA DBE DEB = = Lại có: ã ã ã ã 0 0 90 90 OEA OEH DEB OEH + = + = hay ã 0 90DEO = (2). Từ (1) và (2) DE là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O đờng kính AH. GV: Phạm Thị Phơng. 4 . tại D ã ã DBE DEB = Mặt khác: OAE cân tại O ã ã OEA OAE = Mà ã ã OAE DBE= (c/m câu b) ã ã ã OEA DBE DEB = = Lại có: ã ã ã ã 0 0 90 90 OEA OEH DEB OEH + = + = hay ã 0 90 DEO = (2). Từ. 3(2 điểm): Giải phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2008 2008 20 09 20 09 19 49 2008 2008 20 09 20 09 x x x x x x x x + + = + Bài 4: Cho biểu thức: A = 2 2 4 4x x+ + a(2. = = Bài 3: Giải phơng trình: Đặt 2008 - x = a x - 20 09 = - (20 09 - x) = - (a + 1) Ta đợc phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 19 49 1 1 a a a a a a a a + + + = + + + + (3). ĐKXĐ: 3a 2