Đề thi HSG toán 9 - NH: 2012-2013

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013 Khóa ngày 04/11/2012 ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3 điểm) Chứng minh rằng: M = 5 n (5 n + 1) – 6 n (3 n + 2) chia hết cho 91 với mọi số nguyên n. Bài 2: (5 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = 7 2 2 50 18 128− + + − b/ Rút gọn biểu thức ( ) ( ) 2 3 1 1 2 1 2 1 2 1 x B x x x + = + − − + − , rồi tìm giá trị nhỏ nhất của B Bài 3: (5 điểm) Cho x, y, z là các số không âm. Chứng minh rằng: a/ (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz b/ yz zx xy x y z x y z + + ≥ + + Bài 4: (5 điểm) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Lấy điểm G trên cạnh BC, H trên cạnh CD sao cho · 0 45GOH = . Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: a/ Tam giác HOD và tam giác OGB đồng dạng. b/ MG song song với AH. Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O và · 0 (0 90 )AOD α α = < < . Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: S = 1 AC.BD.sin 2 α HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 (THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013) Bài Đáp án Điểm Bài 1: (3 đ) Ta có: 91 = 7.13 mà (7 ; 13) = 1 nên chỉ cần chứng minh M chia hết cho 7 và chia hết cho 13. M = (25 n – 18 n ) – (12 n – 5 n ) Do: (25 n – 18 n ) M (25 – 18)= 7 ; (12 n – 5 n ) M (12 – 5) = 7 nên M M 7 Mặt khác: M = (25 n – 12 n ) – (18 n – 5 n ) Do: (25 n – 12 n ) M (25 – 12)= 13 ; (18 n – 5 n ) M (18 – 5) = 13 nên M M 13 Tóm lại: M vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13, mà (7 ; 13) = 1 Nên M M 7.13 hay M M 91 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 2: (5 đ) a/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 7 2 2 50 4 2.4 2 2 7 2 2 50 4 2 7 2 2 5 2 4 2 7 2 6 4 2 7 2 2 2 7 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1 A = − + + − + = − + + − = − + + − = − + = − + = − + = − = − = − 0,5 đ 0,75 đ 0,75 đ b/ ( ) ( ) 2 3 1 1 2 1 2 1 2 1 x B x x x + = + − − + − đkxđ: 0 ; 1x x≥ ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 x x x x B x x x x x x x − + + + + = − = − = − − − + + + − ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x x + + − − − = = + + − + + Vì x ≥ 0 nên x 2 + x + 1 ≥ 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0 2 1 1x x ⇒ + + đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = 0 Lúc đó: minB = -1 khi x = 0 0,5 đ 1 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 3: (5 đ) a/ Do x, y, z không âm nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 2x y xy+ ≥ ; 2y z yz+ ≥ ; 2z x zx+ ≥ 2 2 2 ( )( )( ) 8 8x y y z z x x y z xyz⇒ + + + ≥ = 1,5 đ 0,5 đ b/ Do x, y, z không âm nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 2 2 yz zx yz zx z x y x y + ≥ × = 2 2 yz xy yz xy y x z x z + ≥ × = 2 2 zx xy xz xy y y z y z + + ≥ × = Cộng vế theo vế: ( ) 2 2 yz zx xy x y z x y z   + + ≥ + +  ÷   0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1 đ yz zx xy x y z x y z ⇒ + + ≥ + + 0,5 đ Bài 4: (5 đ) Hình vẽ: 0,5 đ a/ · µ 0 0 0 1 180 45 135HOD O+ = − = · µ µ 0 0 0 0 1 1 180 180 45 135OGB O B+ = − = − = · · HOD OGB⇒ = và ¶ µ 0 1 1 45D B= = HOD⇒ ∆ OGB∆ (g-g) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b/ Từ câu a/ suy ra HD DO OB BG = . .HD BG OB OD ⇔ = Đặt BM = a > 0 thì AD = 2a, OB = OD = a 2 Ta có: . . 2. 2 2 . .HD BG OB OD a a a a AD BM= = = = HD BM AD BG ⇒ = và · · ADC ABC= AHD⇒ ∆ GMB∆ (c-g-c) · · AHD GMB⇒ = mà · · AHD HAB= (so le trong) · · GMB HAB⇒ = do hai góc này ở vị trí đồng vị nên MG // AH 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 5: (2 đ) Hình vẽ: 0,25 đ kẻ AH ⊥ BD, CK ⊥ BD Ta có: S = S ABD + S CBD = 1 1 1 . . ( ) 2 2 2 AH BD CK BD BD AH CK+ = + Mà: AH = OA.sin α ; CK = OC.sin α ( ) ( ) 1 1 1 .sin .sin .sin . .sin 2 2 2 S BD OA OC BD OA OC AC BD α α α α ⇒ = + = + = 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ α K H O A D B C 1 1 a 1 M B D C A O G H . RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2012 – 2013 Khóa ngày 04/11/2012 ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1:. chéo cắt nhau tại O và · 0 (0 90 )AOD α α = < < . Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: S = 1 AC.BD.sin 2 α HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 (THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC. 2 2 . .HD BG OB OD a a a a AD BM= = = = HD BM AD BG ⇒ = và · · ADC ABC= AHD⇒ ∆ GMB∆ (c-g-c) · · AHD GMB⇒ = mà · · AHD HAB= (so le trong) · · GMB HAB⇒ = do hai góc này ở vị trí đồng