đề thi HSG Toán 9

111) 111 )(( ++++++++=++++ b c a c c b a b c a b a cba cba ;2 + a b b a 2 + b c c b 2 + a c c a )()()(3 c a a c b c c b a b b a ++++++= 92223)()()(3 =+++++++++ c a a c b c c b a b b a Phòng GD&ĐT Lục Nam Đề Thi chọn HSG cấp huyện Năm học 2009 - 2010 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 (6 điểm). 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 7 + x 2 + 1 b) x 3 + 2x 2 y+ xy 2 - 9x c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 15 d) (x + y)(y + z)(z + x) + xyz 2. Chứng minh rằng: Nếu a 3 + b 3 + c 3 = 3abc và a, b, c đều là những số dơng thì: a = b = c Đáp án: 1. Phân tích thành nhân tử: Mỗi ý làm đúng cho 1 điểm a) x 7 + x 2 + 1 = x 7 x + x 2 + x + 1 = (x 2 + x + 1)[x(x 3 + 1)(x 1) + 1] b) x 3 + 2x 2 y + xy 2 9x = x(x + y + 3)(x + y 3) c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) 15 = (x 2 + 7x + 7)(x 2 + 7x + 15) d) (x + y)(y + z)(z + x) + xyz = (x + y + z)(xy + yz + zx) 2. Ta có a 3 + b 3 + c 3 = 3abc a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = 0 (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 ab ac bc )= 0 (1 điểm) (a+b+c)(2a 2 +2b 2 +2c 2 2ab 2ac 2bc )= 0 (a+b+c)[(a -b) 2 +(b-c) 2 +(a-c) 2 ]= 0 (0,5 điểm) (a -b) 2 +(b-c) 2 +(a-c) 2 = 0 (Vì a,b,c >0) a = b = c (0,5 điểm) Câu 2 (4 điểm). 1. Với a, b, c là những số dơng. Chứng minh rằng: 2. Tìm các giá trị Zyx , thỏa mãn: 14)1( 22 ++++= yxyxy Đáp án: 1. Ta có: (0,5 điểm) (0,5 điểm) Vì a,b,c > 0 nên ta có ; (0,5 điểm) (đpcm) (0,5 điểm) 9) 111 )(( ++++ cba cba 2009200820082009 1 2008200720072008 1 3223 1 2112 1 + + + ++ + + + 2 1 12 3 32 24 6 32 24 168 8 24 2 242 41212 22 2 222 + += = + = + = += ++++=+ x x x x x xx y x xx y xxxyy yxyxxyy )12(3 12 3 + + xZ x = = = = = = = = =+ =+ =+ =+ 0 2 1 2 1 0 2 1 1 0 312 312 112 112 y y y y x x x x x x x x 1 11 1)1( 1 + = +++ nnnnnn 2009 12009 2009 1 1 1 2009 1 2008 1 2008 1 2007 1 2007 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 == +++++ 2. 14)1( 22 ++++= yxyxy 22 4)1(1 yxyxy +++= (1) + Nếu 101 << yy thì (1) vô nghiệm. (0,5 điểm) + Nếu 101 yy Khi đó bình phơng hai vế của (1) ta đợc: (0,75 điểm) Vì Zyx , (không thỏa mãn đk 1y ) Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm. (0,75 điểm) Câu 3 (4 điểm). 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 91051263 242 ++++ xxxx 2. Rút gọn biểu thức sau: B = Đáp án: 1. Ta có A = 91051263 242 ++++ xxxx = 54)1(59)1(3 222 ++++ xx dấu = xảy ra khi: x = -1. (1,5 điểm) 2. Xét và biến đổi trờng hợp tổng quát Khi đó ta đợc: B = Câu 4 (4 điểm). Cho tứ giác ABCD. Gọi E và G lần lợt là trung điểm của AD và BC. Lấy F và H lần lợt trên AB và CD, biết rằng EFGH là hình bình hành, F không trùng với trung điểm của AB. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD là hình thang. b) S EFGH = S ABCD . Đáp án: ( làm đúng mỗi phần đợc 2 điểm) a) Lấy M, N lần lợt là trung điểm của AB và CD. Gọi O là giao điểm của MN và EG =++ =++ =++ 1 1 1 333 222 cba cba cba 200920082007 cba ++ 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = == == 1 0 0 10 10 c b a bc cb = = = 0 1 0 c b a + Tứ giác MENG là hình bình hành. + Tứ giác EFGH là hình bình hành (GT) =>OG=OE=OM=ON=OF=OH => Tứ giác MFNH là hình bình hành => MF//NH=>AB//CD =>tứ giác ABCD là hình thang. b) Kẻ FI EG, HK EG Ta có S EFGH = S EFG + S EHG = (FI.EG + HK.EG)= EG(FI + HK) (1) Ta lại có EG là đờng trung bình của hình thang ABCD =>EG = (AB + CD) (2) FI + HK = h : chính là chiều cao của hình thang (3) Thay (2) và (3) vào (1) ta đợc: S EFGH = S ABCD (đpcm) Câu 5 (2 điểm). Cho Tính: P = Đáp án: Từ a+b+c =1=>( a+b+c) 2 =1=> a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+ac+bc)=1=> ab+ac+bc = 0 Xét a 3 +b 3 +c 3 3abc = (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 ab ac bc ) 1(1-0)=1 =>3abc = 0 => a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0. (1điểm) +) Trờng hợp 1: a = 0 => => b 2 + c 2 +2bc = 1 => 2bc = 0 => hoặc => P = 1 Xét tơng tự hai trờng hợp còn lại ta đợc P=1 Kết luận: P = 1 (1điểm) A B MF D C E G HN O =+ =+ =+ 1 1 1 33 22 cb cb cb . ;2 + a b b a 2 + b c c b 2 + a c c a )()()(3 c a a c b c c b a b b a ++++++= 92 223)()()(3 =+++++++++ c a a c b c c b a b b a Phòng GD&ĐT Lục Nam Đề Thi chọn HSG cấp huyện Năm học 20 09 - 2010 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút Câu. 22 2 222 + += = + = + = += ++++=+ x x x x x xx y x xx y xxxyy yxyxxyy )12(3 12 3 + + xZ x = = = = = = = = =+ =+ =+ =+ 0 2 1 2 1 0 2 1 1 0 312 312 112 112 y y y y x x x x x x x x 1 11 1)1( 1 + = +++ nnnnnn 20 09 120 09 20 09 1 1 1 20 09 1 2008 1 2008 1 2007 1 2007 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 == +++++ 2. 14)1( 22 ++++=. điểm) (0,5 điểm) Vì a,b,c > 0 nên ta có ; (0,5 điểm) (đpcm) (0,5 điểm) 9) 111 )(( ++++ cba cba 20 092 008200820 09 1 2008200720072008 1 3223 1 2112 1 + + + ++ + + + 2 1 12 3 32 24 6 32 24 168 8 24 2 242 41212