Đề thi HSG toán 9 huyện Hải Hậu

Phòng GD&ĐT Hải Hậu kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện ----------*---------- Năm Học: 2008 - 2009 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề bài Bài 1 ( 5 điểm ) Cho biểu thức A = a a a a aa a + + + 3 12 2 3 65 92 với 9,4,0 aaa . a, Rút gọn biểu thức A. b, Tìm giá trị của a để A< 1. c, Tìm giá trị nguyên của a để A có gía trị là một số nguyên. Bài 2 ( 4 điểm ) Cho hệ phơng trình +=+ = 12 2 ayx ayax a, Giải hệ phơng trình khi 2 = a . b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn 1 = yx . Bài 3 ( 3 điểm ) Cho bốn số thực dcba ,,, thoả mãn đồng thời: 7 =+++ dcba và 13 2222 =+++ dcba . Hỏi a có thể nhận giá trị lớn nhất là bao nhiêu? Bài 4 ( 4 điểm ) Từ điểm K bất kì trên đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. Vẽ KH vuông góc với tiếp tuyến Bx của đờng tròn. Giả sử góc KAB bằng độ ( 0 < < 90 ). a, Tính KA, KB, KH theo R và . b, Tính KH theo R và 2 . c, Chứng minh rằng: cos 2 = 1 2sin 2 cos 2 = 2 cos 2 - 1 Bài 5 ( 4 điểm )Cho đờng tròn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên đờng tròn. Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đờng tròn (B là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của MA, BI cắt đờng tròn ở K, tia MK cắt đờng tròn ở C. Chứng minh rằng: a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM. b, BC song song với MA. c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác MAB thuộc đờng tròn cố định. ====================================== Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . Phòng GD&ĐT Hải Hậu hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp huyện ----------*---------- Năm Học 2008 - 2009 Môn Toán lớp 9 Bài 1( 5 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với a 0 và a 4 ; a 9 thì A = )3)(2( )2)(12()3)(3(92 +++ aa aaaaa 0,5đ = )3)(2( 242992 +++ aa aaaaa 0,5đ = )3)(2( 2 aa aa 0,25đ = )3)(2( )2)(1( + aa aa 0,5đ = 3 1 + a a 0,25đ b, (1 điểm) Với a 0 và a 4 ; a 9 thì A < 1 3 1 + a a < 1 0 3 31 < ++ a aa 3 4 a < 0 0,5đ 03 < a 3 < a a < 9 0,25đ Kết hợp với điều kiện ta có 90 < a và a 4 0,25đ c, (2 điểm) Ta có A = 3 4 1 + a 0,5đ Với a nguyên, a 0 và a 4 ; a 9 thì A có giá trị nguyên khi và chỉ khi 3 a là ớc của 4 0,25đ Do đó 3 a nhận các giá trị ;1 2 ; 4 ;1 0,5đ Từ đó a nhận giá trị : 1; 4; 16; 25; 49 0,5đ Vì a 4 nên a nhận các giá trị 1; 16; 25; 49 0,25đ Bài 2 (4 điểm) a, (2 điểm) Thay a = 2 vào hệ phơng trình đợc: +=+ = 122 222 yx yx 0,25đ +=+ = 22224 222 yx yx 0,25đ      =− +=− 222 223)42( yx x 0,25® T×m ®îc 42 223 − + = x 0,5® T×m ®îc 42 232 − + = y 0,5® KL 0,25® b, (2 ®iÓm) Tõ x – y = 1 ⇒ y = x – 1 thay vµo hÖ PT ®îc    +=−+− =−− 1)1(2 )1(2 axx axax 0,25®    +=− −=− 2 2)2( ax axa ⇒ a 2 + a - 6 = 0 0,5® (a – 2)(a + 3) = 0 0,5® T×m ®îc a= -3; 2 0,5® KL 0,25® Bµi 3 (3 ®iÓm) Tõ a +b+c+d = 7 ⇒ b+c+d = 7 – a 0,25® (b+c+d) 2 = b 2 + c 2 + d 2 + 2bc +2cd + 2bd 0,25® mµ (b – c ) 2 0 ≥ ; (c - d ) 2 0 ≥ ;(d - b ) 2 0 ≥ ; ⇒ b 2 + c 2 ≥ 2bc; c 2 + d 2 ≥ 2cd; d 2 + b 2 ≥ 2bd; 0,75® Tõ ®ã (b+c+d) 2 ≤ 3(b 2 + c 2 + d 2 ) 0,5® ⇒ (7 - a) 2 ≤ 3(13 – a 2 ) 0,25® (a – 1)(a- 2 5 ) ≤ 0 0,5® T×m ®îc 1 ≤ a ≤ 2 5 0,25® do ®ã a cã thÓ nhËn gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 2 5 0,25® Bµi 4 (4 ®iÓm) a, (1,5 ®iÓm) LËp luËn ®Ó cã ∠ AKB = 90 0 (0,25®); ∠ KAB = ∠ KBH (0,25®); XÐt ∆ AKB vu«ng t¹i H cã KA = AB cos α = 2R cos α (0,25®); KB = AB sin α = 2R sin α (0,25®); XÐt ∆ KHB vu«ng t¹i H cã KH = KB sin α (0,25®) = 2R sin 2 α (0,25®); b, (1 ®iÓm) α x H K C O B A Vẽ KO; KC AB xét KCO vuông tại C có OC = OK cos2 (0,5đ); Lập luận có KH = CB (0,25đ) = R - Rcos2 = R(1 - cos2 ) (0,25đ); c, (1,5 điểm) Theo câu a có KH = 2R sin 2 theo câu b có KH = R(1 - cos2 ) (0,25đ); nên 2R sin 2 = R(1 - cos2 ) (0,25đ) do đó cos2 = 1 - 2sin 2 (0,25đ); Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông tại K chứng minh đợc sin 2 + cos 2 = 1 nên sin 2 = 1 - cos 2 (0,25đ); Từ đó có cos2 = 1 2(1 cos 2 ) = 2 cos 2 - 1 (0,5đ); Bài 5 (4 điểm) a, (2 điểm) Chứng minh đợc IAK đồng dạng với IBA (0,5đ) IA 2 = IK.IB , mà I là trung điểm của AM nên IM 2 = IK.IB (0,5đ) Chứng minh đợc MIK đồng dạng với BIM (1đ) b, (1điểm) Từ câu a IMK = MBI , lại có MBI = BCK(0,5đ); IMK = BCK BC // MA(0,5đ); c, (1 điểm) H là trực tâm của MAB tứ giác AOBH là hình thoi (0,5đ); AH = AO =R H (A;R) cố định ================================================ = Chú ý: 1.Trong mỗi bài và mỗi câu HS có thể làm cách khác và lập luận chặt chẽ thì đúng đến đâu cho điểm tơng ứng đến đó. 2. Điểm của toàn bài thi không làm tròn. C K I O B x M A . Phòng GD&ĐT Hải Hậu kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện ----------*---------- Năm Học: 2008 - 20 09 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài : 150. danh: . Phòng GD&ĐT Hải Hậu hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp huyện ----------*---------- Năm Học 2008 - 20 09 Môn Toán lớp 9 Bài 1( 5 điểm ) a, (