Đề thi hs giỏi môn toán 9 Năm học: 2008-2009 Thời gian 150 phút Bài 1: a) Cho cỏc s thc dng x; y. Chng minh rng: yx x y y x 22 ++ . b) Cho n l s t nhiờn ln hn 1. Chng minh rng n4 4n + l hp s Bài 2: a) Thc hin phộp tớnh: 35 126320103 + . b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 2008xx . Bài 3: a) Cho x = ( ) 3 10 6 3 3 1 6 2 5 5 + + . Tớnh giỏ tr cu biu thc P = ( ) ( ) 2008 2007 3 4 1x x + b) Cho 3 3 125 125 3 9 3 9 27 27 P = + + + + . Chng minh rng P l mt s nguyờn Bài 4: Cho 1 ABC S = . Gọi ; ; a b c h h h , lần lợt là các đờng cao tơng ứng với các cạnh, a, b, c của ABC CMR: 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 36 a b c a b c h h h+ + + + Bài 5: Cho tam giỏc ABC. P l im nm trờn ng thng BC, trờn tia i cu tia AP ly im D sao cho 2 BC AD = . Gi E v F theo th t l trung im cu DB v DC. Chng minh rng ng trũn ng kớnh EF luụn i qua mt im c nh khi P di ng trờn BC Đáp án Bài 1: a) Vi x v y u dng, ta cú yx x y y x 22 ++ (1) 0)yx)(yx()yx(xyyx 233 ≥−+⇔+≥+⇔ (2) (2) luôn đúng với mọi x > 0, y > 0. Vậy (1) luôn đúng với mọi 0y,0x >> b) n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn hơn 0. - Với n = 2k, ta có k24n4 4)k2(4n +=+ lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do đó n4 4n + là hợp số. -Với n = 2k+1, tacó 2k2k22k4k24n4 )2.n.2()4.2n()4.2(n4.4n4n −+=+=+=+ = (n 2 + 2 2k+1 + n.2 k+1 )(n 2 + 2 2k+1 – n.2 k+1 ) = [( n+2 k ) 2 + 2 2k ][(n – 2 k ) 2 + 2 2k ]. Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n 4 + 4 n là hợp số Bµi 2: a) Biến đổi được: 223 35 )223)(35( += − +− b) Điều kiện 2008x ≥ 4 8031 4 8031 ) 2 1 2008x( 4 1 2008) 4 1 2008x. 2 1 .22008x(2008xx 2 ≥+−−= −++−−−=−− Dấu “ = “ xảy ra khi 4 8033 x 2 1 2008x =⇔=− (thỏa mãn). Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là 4 8033 xkhi 4 8031 = . Bµi 3: a) Ta có x = ( ) ( ) ( ) 3 3 2 10 6 3 3 1 5 1 5 + − + − = ( ) ( ) 3 3 10 6 3 6 3 10 8 2 1 + − = = Suy ra x 3 – 4x + 1 = 1 Suy ra P = ( ) 2008 2007 1 1= b) Áp dụng hằng đẳng thức (a – b) 3 = a 3 – b 3 – 3ab(a - b) 3 3 125 125 3 9 3 9 27 27 P = + + − − + + Suy ra P 3 = 3 3 3 125 125 125 125 125 125 3 9 3 9 3. 3 9 3 9 . 3 9 3 9 27 27 27 27 27 27 + + − − + + − + + − + + + + − − + + ÷ ÷ ÷ ÷ ⇔ 3 3 125 6 3 . 27 P P= − ⇔ 3 5 6 0P P+ − = ⇔ (P – 1).(P 2 + P + 6) = 0 ⇔ P = 1 (vì P 2 + P + 6 > 0). Vậy P là một số nguyên. Bµi 4: ¸p dông B§T Cosi cho 3 sè d¬ng ta cã: 2 2 2 3 2 2 2 3 . .a b c a b c+ + ≥ (1) (V× a, b, c > 0) 2 2 2 3 2 2 2 3 . . a b c a b c h h h h h h+ + ≥ (2) (V× , , 0) a b c h h h > Tõ (1) vµ (2) suy ra: 2 2 2 2 2 2 ( )( ) a b c a b c h h h+ + + + ≥ 3 2 2 2 3 . . .a b c 3 2 2 2 3 . . a b c h h h 3 2 2 2 9 ( . ) .( . ) ( . ) a b c a h b h c h= (*) Mµ 2 . . . ABC a b c S h a h b h c ∆ = = = (3) Ta l¹i cã: 1 ABC S ∆ = (GT) (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra: . . . 2 a b c h a h b h c= = = (2*) Tõ (*) vµ (2*) suy ra: 2 2 2 2 2 2 ( )( ) a b c a b c h h h+ + + + ≥ 3 2 2 2 3 2 2 2 9. ( . ) .( . ) ( . ) 9. 2 .2 .2 36 a b c a h b h c h = = VËy 2 2 2 2 2 2 ( )( ) a b c a b c h h h+ + + + ≥ 36 (§PCM) Bµi 5: Gọi M là trung điểm cuả BC + Tứ giác DEMF là hình bình hành do EM, FM là hai đường trung bình cuả ∆DBC. Suy ra DM và EF cắt nhau tại trung điểm O cuả mỗi đường. Gọi I là trung điểm cuả AM thì suy ra I là điểm cố định. + OI là đường trung bình cuả ∆AMD nên : OI = 1 2 AD = 1 4 BC (giả thiết) (1) + EF là đường trung bình cuả ∆ABC nên EF = 1 2 BC (2) Từ (1) và (2) suy ra OI = 1 2 EF. Suy ra I thuộc đường tròn (O; 1 4 BC) Vậy đường tròn đường kính EF (O; 1 4 BC) luôn đi qua điểm cố định I khi P thay đổi trên đường thẳng BC I O F E D M B C A P . hằng đẳng thức (a – b) 3 = a 3 – b 3 – 3ab(a - b) 3 3 125 125 3 9 3 9 27 27 P = + + − − + + Suy ra P 3 = 3 3 3 125 125 125 125 125 125 3 9 3 9 3. 3 9 3 9 . 3 9 3 9 27 27 27 27 27 27 . trị nhỏ nhất cần tìm là 4 8 033 xkhi 4 8 031 = . Bµi 3: a) Ta có x = ( ) ( ) ( ) 3 3 2 10 6 3 3 1 5 1 5 + − + − = ( ) ( ) 3 3 10 6 3 6 3 10 8 2 1 + − = = Suy ra x 3 – 4x + 1 = 1 Suy ra P =. tớnh: 35 12 632 01 03 + . b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 2008xx . Bài 3: a) Cho x = ( ) 3 10 6 3 3 1 6 2 5 5 + + . Tớnh giỏ tr cu biu thc P = ( ) ( ) 2008 2007 3 4 1x x + b) Cho 3 3 125