Tìm số dư của đa thức Tìm các hệ số của đa thức Chức minh đa thức chia hết cho các nhị thức Số dư trong phép chia đa thức fx cho nhị thức x – a bằng giá trị của đa thức fx tại x =
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HSG TOÁN : 9
NĂM 2010 - 2011
DẠNG 1: Giải toán theo quy luật
1 Phép cộng theo chuỗi số.
* 1+2+3+4+…+n = n( n2 1)
* 1 2 2 2 3 2 2 ( 1)(62 1)
n
2 Phép cộng theo chuỗi phân số.
) 1 (
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1
) 1 (
1 2
1
1 ( 2
1 ) 1 ( ) 1 (
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2 1
1
n n n
n n
*
) ) 1 (
1 3
2 1
1 ( 3
1 ) 2 )(
1 ( ) 1 (
1
6 5 4 3
1 5
4 3 2
1 4
3 2 1
1
n n n
n n n
3 Phép cộng theo chuỗi phân số
1
1
4 3
1 3
2
1 2
1
1
n n
BÀI TẬP
1 Tính
a A = 1+2+3+…+2011
b Tìm a để tổng A + a là một số chính phương
2 tìm x biết
x (1 + 2 + 3 +4 + … + 2011) = 1 2 2 2 3 2 2011 2
3 Chứng minh rằng
A = 126.(72011 + 72010 + 72009 + … + 7 + 1 ) + 21 chia hết cho 72011
4 Tính a 20101.2011
4 3
1 3 2
1 2 1
1
Trang 2b 2009.20102 .2011
5 4 3
2 4 3 2
2 3 2 1
2
5 4 3
2 4 3 2
2 3 2 1
2
6 5 4 3
6 5
4 3 2
6 4
3 2 1
6
e
2011 2010 2009 2008
6
6 5 4 3
6 5
4 3 2
6 4
3 2 1
6
f 20101 2011
4 3
1 3 2
1 2
1
1
g 20101 2011
4 3
1 3
2
1 2
1
1
DẠNG 2: Tìm nghiệm nguyên x,y
Tìm nghiệm nguyên Phương trình bậc nhất.
ax + by = c (a,b,c nguyên)
Bài tập mẫu:
Tìm nghiệm nguyên x, y sau cho : 2x + 3y = 11
Giải
Từ PT : 2x + 3y = 11
2
1
y
Do x nguyên
Ta có : ( 1 y) 2 hay y 2 t 1 với t Z
t
x 4 3
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là
1 2 3 4
t y
t x
với t Z
BÀI TẬP
1 Giải phương trình
Trang 3a 11x + 18y = 120
b 12x + 7y = 45
c 3x + 5y = 10
d 4x + 5y = 65
2 Phân tích số 100 thành tổng hai số tự nhiên mà trong đó một số chia hết cho 7, một số chia hết cho 11 (đề thi HSG vòng tinh 2004-2005)
DẠNG 3: Tìm số dư và chứng minh chia hết.
Tìm số dư của phép chia.
A: B = Q + r
Ghi chú :
- dạng này học sinh cần sử dụng máy tính từ 500MS trở lên
- nhầm sử dụng phương pháp đồng dư để chứng minh chia hết và tìm
số dư hoặc các chữ số cuối cùng của tổng
Bài tập mẫu
Tìm số dư : 9124565217 : 123456
Giải
ấn máy tính 500MS:
9124565217 : 123456
Máy hiện số : 73909,45128
Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là :
9124565217 - 123456 x 73909 =
Kết quả số dư r = 55713
DẠNG 4: Dùng PP đồng dư để chứng minh chia hết
Dạng tìm số dư của phép chia dạng lũy thừa quá lớn ta thực hiện theo phương pháp đồng dư theo công thức.
Trang 4
) (mod ) (mod ) (mod ) (mod
p m a
p n m b p n b p m a
c c
Bài tập mẫu
Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975
Giải
Ta có : 2004 2 841 (mod 1975 )
2004 4 841 2 231 (mod 1975 )
2004 12 231 3 416 (mod 1975 )
2004 48 416 4 536 (mod 1975 )
2004 12 2004 48 416 536 (mod 1975 )
2004 60 1776 (mod 1975 )
) 1975 (mod 841 1776 2004
.
2004 60 2
) 1975 (mod 1171 516
2004 62 3 3
x
) 1975 (mod 591 1171
2004 62 3 2 2
x x
) 1975 (mod 246 231 591
2004 62 6 4
x
) 1975 (mod 246
2004 376
Vậy 2004376 chia cho 1975 dư 246
Bài tập
1 Tìm số dư phép chia
a 143946 cho 32147
b 432156 cho 2349
c 11031972 cho 101972
d 18901969 cho 1512005
2 Tìm số dư của phép chia
a 20072008 cho 2008
b 20082009 cho 2010
c 20102009 cho 2011
d 20112010 cho 2009
Trang 53 Tìm hai chữ số cuối cùng của 232005
4 Tìm ba chữ số cuối cùng của 272009
5 Tìm chữ số cuối cùng của 372010
6 Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng
a A = 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006
b B = 32007 + 32008 + 32009 + 32010 + 32011
c C = 52008 + 52009 + 520010
7 Chứng minh rằng tổng chia hết cho
a 18901930 + 19451975 + 1 chia hết cho 7
b 22225555 + 55552222 chia hết cho 7
c 19971997 + 5 chia hết cho 13
d 21000 – 1 chia hết cho 25
DẠNG 5: Dùng định lý Bơ zu.
Tìm số dư của đa thức
Tìm các hệ số của đa thức
Chức minh đa thức chia hết cho các nhị thức
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a
BÀI TẬP
1 Dùng định lý BơZu chứng minh đa thức f(x) chia hết cho nhị thức g(x)
a (x 4 + x 3 + 2x 2 – x – 123)(x – 3)
b (x 3 – 9x 2 - 35x - 12)(x – 12)
c (2x 3 + x 2 - 3x + 2508)(x + 11)
Trang 6d (3x 3 + 2x 2 + 5x + 198 )(2x + 1)
2 Dùng định lý BơZu tìm số dư của đa thức f(x) chia cho nhị thức g(x)
a (x 4 + x 3 + 2x 2 – x +1):(x – 3)
b (x 3 – 9x 2 - 35x + 7):(x – 12)
c (2x 3 + x 2 - 3x + 5):(x + 11)
d (3x 3 + 2x 2 + 5x - 7):(2x + 1)
e (4x 5 + 3x 3 - 4x + 5):(2x + 11)
f (3x 4 +5x 3 - 4x 2 +2 x - 7)(2 – 3x)
3 Dùng định lý BơZu để tìm m đa thức f(x) chia hết cho nhị thức g(x)
a (x 4 + x 3 + 2x 2 + m)(x – 3)
b (x 3 – 11x 2 - 5x -2 m)(x +5)
c (2x 3 +5x 2 - 3x – 5+ m)(3x + 15)
d (5x 3 + 2x 2 + 5x - 5m)(2x + 1)
e (2x 5 + 3x 3 - 4x + m 2 - m)(2x - 6)
f (3x 4 + 7x 3 - 4x 2 +2 x – 3m 2 )(2 – 3x)
g (3x 3 +5x 2 - 3x – 5+ m 3 +2m 2 )(3x - 9)
h (5x 3 + 2x 2 + 5x - 5m 3 – 4m)(2x + 4)
DẠNG 6: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương
Chứng minh rằng tổng các dãy số sau là số chính phương.
Tìm số tự nhiên n sau cho tổng các số sau là số chính phương
Trang 7DẠNG 7: Rút gọn và tính giá trị biểu thức
Lưu ý:
sử dụng các hằng đẳng thức bậc 2 đến bậc n để biến đổi rút gọn
Dùng các phép biến đổi căn thức
Chứng minh tổng các căn thức là số nguyên
Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
DẠNG 8: Hàm số bậc nhất bậc hai, Phương trình bậc hai, bậc ba
Tính diện tích tạo bởi hai đồ thị
Tình chu vi các hình tạo bởi 2,3,4 đồ thị với các các trục tọa độ
Phương trình bậc hai
Trang 8 Phương trình bậc ba
Bài tập
1 Cho hai đường thẳng y = -2x + 4 và y = 3x +4
a vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
b tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Ox
2 Cho hai đường thẳng y = -3x + 9 và y = 2x - 6
a vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
b tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Oy
3 Cho hai đường thẳng y = -3x + 11 và y = 2x - 4
a vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
b tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Oy
c tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Ox
4 Cho ba đường thẳng y = 4
3
4
x ; y = 4
4
3
x và y = 7x - 21
a vẽ 3 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ
b tính chu vi và diện tích hợp bởi 3 đường thẳng trên
c Tính chu vi và diện tích tứ giác hợp bởi 2 đường thẳng
3
4
x ; y = 4
4
3
x với trục Ox và Oy
5 Giải các phương trình sau
a x3 – 4x2 + 6 = 0
b x3 + 2x2 – 7x + 4 = 0
Trang 9c 3x4 – 5x3 - 11x2 + 20x - 4 = 0
DẠNG 9: Vận dụng các hệ thức bất đẳng thức
Dùng Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si mở rộng) để chứng minh
Dùng bất đẳng thức Bunhinacôpxki để chứng minh
DẠNG 10: Hình học
Các dạng toán hình liên quan đến hệ thức lượng giác
Các bài toán liên quan đến tính diện tích và chu vi các hình thông qua các công thức nâng cao.
Chứng minh một số dạng bài toán quỹ tích ( điểm, đường thẳng, đường tròn)
BÀI TẬP
1 Cho tam giác ABC biết AB = 5cm, BC = 8cm , AC = 12cm, góc BÂC = 300
a Tính diện tích tam giác ABC
Trang 10b Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC
2 Cho đường tròn tâm (0;R), trên đường tròn lấy C và B, Qua C và B kẽ 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A, biết AC = 5cm, BÂC = 600.
a Tính chu vi và diện tích của tứ giác ABOC
b Tính diện tích và chu vi của đường tròn (0;R)
3 Cho cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt 5cm; 12cm; 13cm nội tiếp đường tròn tâm (0; 6,5cm)
a Tính diện tích tam giác ABC
b Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
c Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp tam giác ABC
4 Cho tam giác ABC, có độ dài 3 cạnh lần lượt 6cm, 8cm, 10cm
a Tính diện tích tam giác ABC
b Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp tam giác ABC
c Tính chu vi và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5 Cho tam giác vuông ABC ( Â = 900), AB = 3cm; AC = 4cm
a Tính diện tích và chu vi tam giác ABC
b Giải tam giác vuông ABC
c Tính đường cao AH ( H BC )
d cho BC cố định, độ dài AH không đổi Tìm quỹ tích điểm A
e BC cố định, tìm quỹ tích điểm A sao cho BÂC = 900