PHÒNG GD – ĐT TUY PHƯỚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( 5 điểm) 1. Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất: A = 100520102010 100520112010 + − x x 2. Thực hiện phép tính: B = − − − 99 2 1 5 2 1 3 2 133 Bài 2: (5 điểm) Cho M = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 20 a. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5. b. Tìm chữ số tận cùng của M. Bài 3: ( 5 điểm ) 1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho : n + 5 n – 2 2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho : (2x + 1)(y – 3) = 10 Bài 4: ( 5 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm của AC , điểm N là trung điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN = 2 a . 2. Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại I. So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( 5 điểm) 1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất: A = 100520102010 100520112010 + − x x = 100520102010 1005201020102010 100520102010 1005)12010(2010 + −+ = + −+ x x x x = 1 100520102010 100520102010 = + + x x 2) Thực hiện phép tính: B = − − − 99 2 1 5 2 1 3 2 133 = 33. 3 1 . 99 97 7 5 . 5 3 = 33. 99 1 = 3 1 Bài 2: (5 điểm) Cho M = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 20 a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 : M = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 20 = (2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + (2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 ) + … + (2 17 + 2 18 + 2 19 + 2 20 ) = 2.(1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + 2 5 .(1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + … +2 17 .(1 + 2 + 2 2 +2 3 ) = 2. 15 + 2 5 .15 + …+ 2 17 .15 = 15. 2(1 + 2 4 + …+ 2 16 ) = 3 . 5 .2 .(1 + 2 4 + …+ 2 16 ) 5 b) Tìm chữ số tận cùng của M: Dễ thấy M 2 ; M 5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M 10. Do đó M tận cùng bằng chữ số 0. Bài 3: ( 5 điểm ) 1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7 n – 2 ⇒ 7 n – 2 ⇒ n – 2 ∈ Ư(7) = { } 7;1 ±± n – 2 1 -1 7 -7 n 3 1 9 -5 Vậy : n ∈ { } 5;9;1;3 − 2) Ta có x , y ∈ N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10. Hơn nữa 2x + 1 > 0 và là số lẻ nên 10 = 1 . 10 = 5 . 2 Do đó : =− =+ 103 112 y x hoặc =− =+ 23 512 y x Suy ra : = = 13 0 y x hoặc = = 5 2 y x Bài 4: ( 5 điểm) 1) M là trung điểm của AC nên : AM = MC = 2 1 .AC N là trung điểm của CB nên : CN = NB = 2 1 .CB Suy ra : MC + CN = 2 1 ( AC + CB ) C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N . C nằm giữa M và N ⇒ MC + CN = MN C nằm giữa A và B ⇒ AC + CB = AB = a Do đó : MN = 2 a . 2) Nối BD. Ta có : S BDC = S ADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD) S BDH = S DBA (= 2 1 S ABHD ) ; S DBA = S IAD ( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau) Do đó : S BHC = S BDC – S BDH = S BDC - S DBA = S ADC – S IAD = S IDC Vậy : S BHC = S IDC . . PHÒNG GD – ĐT TUY PHƯỚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( 5 điểm) 1. Thực. 2 + 2 2 +2 3 ) = 2. 15 + 2 5 .15 + …+ 2 17 .15 = 15. 2(1 + 2 4 + …+ 2 16 ) = 3 . 5 .2 .(1 + 2 4 + …+ 2 16 ) 5 b) Tìm chữ số tận cùng của M: Dễ thấy M 2 ; M 5 mà ƯCLN( 2;. rằng M chia hết cho 5 : M = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 20 = (2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + (2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 ) + … + (2 17 + 2 18 + 2 19 + 2 20 ) = 2.(1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + 2 5 .(1 + 2