Chứng tỏ rằng khi biểu diễn A, B dưới dạng các số tự nhiên thì số chữ số của A và số chữ số của B là bằng nhau.. ---HẾT---Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.. Không tồn tại b, c N
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Năm học: 2012-2013 Môn: Toán
Thời gian làm bài:120 phút
Đề thi này gồm 01 trang
Chú ý: Thí sinh dự thi không được dùng máy tính cầm tay!
Câu 1.(2.0 điểm) Thực hiện phép tính:
b) B=
Câu 2 (2.0 điểm)
a) Cho 1 1 1 1 1
A ; 1 1 1
2013
A B
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 1! + 2! + 3! + + n! là số chính phương
Câu 3 (2.0 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn:
5
4 1 1 1
c b a
b) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố
Câu 4 (2.0 điểm)
Cho xOy 1000 Vẽ tia phân giác Oz của xOy; vẽ tia Ot sao cho yOt 250
a) Tính số đo các góc: zOt xOt,
b) Ot có phải là tia phân giác của góc zOy không? Vì sao?
Câu 5 (2.0 điểm)
a) Cho A = 20122012 + 22012 và B = 20122012
Chứng tỏ rằng khi biểu diễn A, B dưới dạng các số tự nhiên thì số chữ số của A và
số chữ số của B là bằng nhau
b) Ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n
Tìm n sao cho S(n) = n2 – 2013n + 6
-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6, 7, 8
NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6
(HDC này gồm 04 trang)
Câu 1: (2,0 điểm)
a
(1.0
điểm)
Ta có :
;
n
n n
Do đó:
S
2
1
0.25
0.5 0.25
b
(1.0
điểm)
Ta có:
B =
=
=
5 47
3 41 )
4
5 4 (
41
47
= 3
0.5
0.5
Câu 2: (2,0 điểm)
a
(1.0
điểm)
Ta có 1 1 1 1 1
A ;
Suy ra:
2013 2013
Vậy
2013
1
A B
0.25 0.25 0.25
0.25
b
(1.0
điểm)
Xét : n = 1 1! = 12
n = 2 1! +2! = 3
n=3 1! + 2! + 3! = 9 =32
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3n = 4 1!+ 2! +3! + 4! =33
- Với n >4 thì n! = 1.2.3 n là một số tự nhiên có chữ số tận
cùng là 0 Nên 1!+2!+ +n! = 33 cộng với một số có chữ số tận
cùng bằng 0
Suy ra : 1!+2!+ +n! có chữ số tận cùng là 3, nên nó không phải
là số chính phương.
- Vậy chỉ có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! + +n!
là số chính phương
0.25
0.5 0.25
Câu 3: (2,0 điểm)
a
(1.0
điểm)
Ta thấy: a, b, c là các số tự nhiên khác 0
Do a, b, c có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử:
0 < a ≤ b ≤ c
Ta có: 1 1 1 3
a b c a
3 4
5
a
=> a ≤15
4
=> a {1;2;3}
+ Với a = 1 thì 1 1 4 1
5
b c Không tồn tại b, c N thỏa mãn
+ Với a = 2:
Ta có: 1 1 1 4
2b c 5
=> 1 1 3
10
b c
Do b ≤ c nên 1 1 2
b c b
10
b
10
b
=> b ≤ 20
3 => b {1;2;3;4;5;6}
Kiểm tra các trường hợp ta thấy b = 5 thì c = 10; b=4 thì c=20 (thỏa
mãn) Các trường hợp còn lại của b không thỏa mãn
+ Với a = 3:
Ta có 1 1 4 1 7
5 3 15
b c
Do b ≤ c nên 1 1 2
b c b
0.25 0.25
0.25
Trang 42 7
15
b
b ≤ 30
4 => b {1;2;3;4;5;6;7}
Kiểm tra các trường hợp của b ta thấy các giá trị của c đều không thỏa
mãn c N
Vậy các bộ số (a;b;c) thỏa mãn đề bài là: (2;5;10) , (2;4;20) và các hoán
b
(1.0
điểm)
- Vì p > q > r nên: p2 + q2 > 2
Do vậy p2 + q2 + r2 là số nguyên tố thì p2 + q2 + r2 phải là số lẻ => p2, q2, r2 là
các số lẻ => p, q, r là các số nguyên tố lẻ
- Trong ba số p,q,r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số
nào chia hết cho 3 thì p2, q2, r2 chia 3 đều dư 1, khi đó p2 + q2 + r2 chia hết
cho 3 (mâu thuẫn)
=> p = 3 ( p là số nguyên tố lẻ và nhỏ nhất trong 3 số)
=> q = 5, r = 7 Kiểm tra: p2 + q2 + r2 = 32 + 52 + 72 = 83 là số nguyên tố (thỏa mãn)
0.25 0.25
0.25 0.25
Câu 4: (2,0 điểm)
a
(1.0
điểm)
Tia Oz là phân giác góc xOy nên 0
50
yOz
Xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1: Ot nằm giữa Oz và Oy
Mà yOt 250và Ot nằm giữa Oz, Oy nên zOt 250
Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Ot nằm giữa Oy, Oz nên Oz nằm giữa Ox, Ot
=> xOt 750
* Trường hợp 2: Oy nằm giữa Oz, Ot
Tia Oy nằm giữa Oz, Ot nên zOt 750
Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Oy nằm giữa Ot, Oz nên Oz, Oy nằm giữa
Ox, Ot => xOt 1250
0.25 0.25
0.25 0.25
O
x
y
z
t
500
500 250
500
500
250
O
x
y z
t
Trang 5(1.0
điểm)
- Trường hợp Oy nằm giữa Oz, Ot thì Ot không là phân giác của góc zOy
- Trường hợp Ot nằm giữa Oz và Oy ta có:
yOt và zOt 250 nên Ot là phân giác của góc zOy
0.5
0.5
Câu 5: (2,0 điểm)
a
(1.0
điểm)
Giả sử số B=20122012 khi biểu diễn dưới dạng số tự nhiên có n chữ số, ta có:
10002012 < 20122012 < 10n => 10n > 106036 => n > 6036
Giả sử khi số A=20122012 + 22012 biểu diễn dưới dạng số tự nhiên thì số A
có nhiều hơn n chữ số, tức là A ít nhất có n + 1 chữ số, suy ra:
20122012 +22012 ≥ 10n
=> 20122012 < 10n < 20122012 + 22012
=> 22012.10062012 < 22012 2n – 2012.5n ≤ 22012.(10062012 +1) Do n > 6036
=> 10062012 < 2n-2012.5n ≤ 10062012 +1
=> 2n-2012.5n = 10062012 +1 Điều này là vô lý vì 10062012 +1 là số lẻ, còn
2n-2012.5n là số chẵn
Do đó số chữ số của A không nhiều hơn số chữ số của B
=> ĐPCM
0.25
0.25 0.25 0.25
b
(1.0
điểm)
Giả sử khi biểu diễn số tự nhiên n dưới dạng số thập phân ta có:
( với ai là các chữ số, i = 0,1,2, ,m ;
m N)
=> n ≥ a ma m1 a1a0
=> n ≥ S(n)
=> n2 – 2013n + 6 ≤ n
=> n2 + 6 ≤ 2014n
=> n 6 2014
n
=> n< 2014 (1)
Mà S(n) ≥ 0
=> n2 – 2013n + 6 ≥ 0
=> n2 + 6 ≥ 2013n
=> n 6 2013
n
=> n ≥ 2013 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n = 2013
Thử với n = 2013 ta có:
S(2013) = 20132 – 2013.2013 +6 = 6 (thỏa mãn)
Vậy số tự nhiên n cần tìm là 2013
0.25
0.25
0.25
0.25
Giám khảo chú ý:
- HDC chỉ là một cách giải HS có thể giải theo cách khác, giám khảo căn cứ vào bài làm cụ thể của HS để cho điểm.
- Điểm các phần, các câu không làm tròn Điểm toàn là tổng điểm của các câu thành phần.
……….