PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CÁP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN : TỐN Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức P x 1 x 25 x 4 x x 2 x 2 Tìm x để P có giá trị 1 Câu (2,0 điểm) Chứng minh a, b, c số thực thỏa mãn: a b c 1 a b c abc a b c Câu (2,0 điểm) Tính tổng: 1 1 1 S 2 20182 20192 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: x2 x 12 x 36 Câu (1,0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n thì: 3n2 2n2 3n 2n 10 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2017 x 2018 y 2019 Câu (1,0 điểm) Cho m, n số tự nhiên p số nguyên tố thỏa mãn: p mn Chứng minh n số phương m 1 p 1 Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ b a c ab cb biểu thức P 2a b 2c b Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O Gọi M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM a) Chứng minh rằng: OEM vuông cân b) Chứng minh: ME song song với BN c) Từ C kẻ CH vng góc với BN H Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Câu 10 (2,0 điểm) Cần dùng bìa hình tròn có bán kính để phủ kín tam giác có cạnh 3, với giả thiết khơng cắt bìa? ĐÁP ÁN Câu Biểu thức có nghĩa x 0; x P x 1 x 25 x 4 x x 2 x 2 x x 1 x 2 x 2 x x 2 x 1 x x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2x x x x x 2 x 2 x 2 x 2 Do P x 2 25 x x 2 25 x x 2 x 2 3x x x 2 x 2 x 2 x x 2 x x x x x 16(tm) x 2 Câu 2 1 1 1 Từ a b c a b c 1 1 1 abc 2 2 4(*) a b c a b c ab bc ca abc abc Mà a b c abc 1 abc 1 1 1 Nên từ (*) a b c a b c Câu 2 n2 n 1 n 1 n 1 Với n * ta có: n n 12 n n 1 n2 n 1 2n n 1 n2 n 1 Suy n n 1 n2 n 1 2 1 n n 1 1 1 1 0 (do 1 2 n n 1 n n 1 n n 1 n *) Áp dụng kết với n 1;2; ;2019ta có: 1 1 1 S 1 1 1 2 3 2018 2019 2018 2019 2018 2019 2019 Câu Điều kiện x 1 Đặt t x 1, DK : t x t Phương trình cho trở thành: t t 12t 36 t t 6 t t 3 t t t 2(tm) t t t 3(ktm) t 2 x 3 Vậy phương trình cho có nghiệm x Câu Ta có: 3n 2n 3n 2n 3n 3n 2n 2n 3n 32 1 2n1 23 3n.10 2n1.10 10. 3n 2n1 10( dfcm) Câu Ta có : x2 xy 2017 x 2018 y 2019 x xy x 2018 x 2018 y 2018 x x y 1 2018 x y 1 x 2018 x y 1 1.1 1. 1 Nên có trường hợp xảy ra: x 2018 x 2019 TH 1: x y y 2019 x 2018 1 x 2017 TH : x y 1 y 2019 Vậy phương trình có nghiệm ngun x; y 2019; 2019 ; 2018; 2019 Câu p mn p m 1 m n m 1 p Vì m, n số tự nhiên nên m n m Mặt khác p số nguyên tố nên có trường hợp: p p p p m m Do suy n p2 2 m n p m n p Vì p số nguyên tố nên n số phương Vậy có điều phải chứng minh Câu 1 2ac Vì nên b b a c ac 2ac a ab c 3ac a 3c a c Do đó: 2a b 2a 2ac 2a 2a ac 2ac c cb c 3ac c 3a a c Và: 2c b 2c 2ac 2c 2c ac Suy : ab c b a 3c c 3a ac 3c ac 3a P 2a b 2c b 2a 2c 2ac 2 a c 2ac 3.2ac 2ac 8ac 4 2ac 2ac 2ac Vậy P với a, b, c thỏa mãn đề Dấu xảy a b c Vậy GTNN P a b c Theo : Câu E A O B M H D C N a) Xét OEB OMC, ta có: OB OC (vì ABCD hình vng) B1 C1 450 ; BE CM ( gt ) OEB OMC (c.g.c) OE OM O1 O3 Lại có O2 O3 BOC 900 (vì tứ giác ABCD hình vng) O2 O1 900 EOM 900 kết hợp với OE OM OEM vuông cân O AM BM b) Vì AB / /CD AB / / CN (theo định lý Talet) (*) MN MC Mà BE CM ( gt ) AB BC AE BM thay vào (*) ta có: AM AE ME / / BN (Theo định lý Talet đảo) MN EB c) Gọi H ' giao điểm OM BN Từ ME / / BN OME OH ' B (cặp góc đồng vị) Mà OME 450 OEM vng cân O MH ' B 450 C1 OMC BMH '( g.g ) OM MC , kết hợp với OMB CMH ' (hai góc đối đỉnh) OB MH ' OMB CMH '(cgc) MH ' C OBM 450 Vậy BH 'C BH ' M MH 'C 900 CH ' BN H ' Mà CH BN H H H ' hay ba điểm O, M , H thẳng hàng (đpcm) Câu 10 Giả sử ABC tam giác có cạnh A Chia cạnh tam giác ABC thành ba phần Nối điểm chia đoạn thẳng song song với cạnh Tam giác ABC K chia thành tam giác có cạnh hình vẽ Gọi I, J, K điểm cạnh J BC, CA, AB cho BI CJ AK Ba đường tròn bán kính 1, tâm tương ứng I, J, K phủ kín tam giác ABC (mỗi hình tròn phủ kín tam giác cạnh 1) Như B C I dùng ba bìa hình tròn bán kính phủ kín tam giác ABC *Số bìa phải dùng 3, ngược lại có hai ba đỉnh tam giác ABC thuộc hình tròn bán kính Điều khơng thể xảy cạnh tam giác ABC