PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NGHI XUÂN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG CẤP HUYỆN MƠN TỐN NĂM HỌC 2018-2019 Bài a) Thu gọn biểu thức sau: A 12 21 12 b) Cho biểu thức B x5 x 5x3 5x Tính giá trị B x 2018 2018 1 1 Bài a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn x2 y y z z x Tính giá trị biểu thức A x15 y10 z 2018 n b) Tìm số nguyên dương n cho n số nguyên tố Bài a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 20 y xy 150 15 x b) Tìm k để phương trình sau có nghiệm x2 1 x2 2x k 1 2k 6k 6 2x Bài a) Cho tứ giác ABCD có M , P trung điểm AD, BC N Q thuộc cạnh AB CD thỏa mãn MNPQ hình bình hành (N, Q khơng trùng với trung điểm AB CD) Chứng minh ABCD hình thang b) Cho ABC vuông A Trên cạnh AB, BC, CA theo thứ tự lấy điểm D, E, F cho DE vng góc với BC DE DF Gọi M trung điểm EF Chứng minh BCM BFE Bài Cho a, b thỏa mãn a b2 a b Tìm GTLN S a b a 1 b 1 ĐÁP ÁN Bài a) Ta có: A b) Ta có x 3 1 1 2 3 3 3 1 1 1 2x x 1 x x x5 x x3 x x3 x x x3 x 4 x3 x x x x x x x x 1 B 2019 Bài a) Ta có x2 y y z z x x 1 y 1 z 1 2 x y z 1 A x15 y10 z 2018 b) Xét n ta có n4 4n =5 thỏa mãn Xét n Nếu n chẵn n4 4n n4 4n nên n4 4n hợp số Nếu n lẻ, ta đặt n 2k 1 k , ta có : n 4n n 4k.2 n 4k.2 2.n 4k.2 2 n 4k.2 2n.2k n 2n.2k 4k.2 n 2n.2k 4k.2 2 Tích cuối hợp số Vậy n thỏa mãn toán Bài a) Phương trình 20 y xy 150 15x xy 15x 20 y 150 3x y 5 y 25 25 y 510 y 25 3x 25 Xét trường hợp sau: 70 x 2 y 1 TH : (ktm) 10 y 25 3x 25 y 2 y x 10 TH 1: 10 y 25 3x 25 y x 10 2 y 25 TH : 74 (ktm) 10 y 25 x y 70 2 y x TH : (ktm) 10 y 25 x y 2 y 25 x 58 TH 3: 10 y 25 3x y 15 2 y 5 x 58 TH : 10 y 25 3x y 15 Vậy phương trình có nghiệm x; y 10;3 ; 58;15 ; 10;0 b) Vì x nên phương trình x x k 1 2k 6k x 2k k 1 k 2k k 4k x k 1 k 2 x 1 2x x 1 2x 0 x 1 2 x2 0 x Dấu " " xảy Vậy k phương trình có nghiệm x k Bài a) A B N E P M I D F C Gọi E , F trung điểm AB, CD Ta có ME đường trung bình ABD nên ME / / BD, BD 2ME Ta có PF đường trung bình BCD nên PF / / BD, BD 2PF Suy ME / / PF ME PF MEPF hình bình hành Gọi I giao điểm MP EF IE IF (1) Mặt khác MNPQ hình bình hành nên NQ qua I IN IQ(2) Từ (1) (2) suy tứ giác NEQF hình bình hành Suy NE / /QF Hay AB / /CD , ABCD hình thang b) A F D I K M B C E Ta có DE DF nên DEF cân có ME MF nên DM EF MDF MDE , kẻ DK BF K Ta có DKF DMF 900 nên DKMF nội tiếp MKF MDF MDE Mà MDE MEC (cùng phụ với MED) , suy MKF MEC (1) Ta lại có BED BKD 900 BEKD tứ giác nội tiếp BKE BDE mà BDE BCA (cùng bù với ADE ) Suy BKE BCA nên tứ giác CEKF nội tiếp CKF MEC (2) Từ (1) (2) suy MKF CKF K , M , C thẳng hàng BCM BFE Bài Ta có: a b2 2ab a b2 a b a b a b a b 2 a b 1 1 1 2 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 1 Áp dụng BĐT với x, y ta có: x y x y Do S 1 4 1 1 a 1 b a b 2 Suy S Vậy MaxS a b