PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức x 1 x x 1 1 P : x 1 x 10 x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x 3 2 32 32 3 2 Câu (4,0 điểm) x y 1 a) Giải hệ phương trình: 2 x y b) Giải phương trình: x x x 1 x c) Cho số tự nhiên có chữ số Nếu xóa chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 5445 đơn vị Tìm số cho Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh A 2n 1 2n 1 chia hết cho với số tự nhiên n b) Tìm tất số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: x y z 11 8x y 10 z 100 c) Chứng minh xy 1 x 1 y 1thì x 2 y y x2 Câu (4,0 điểm) x 2y Tìm giá trị lớn P xy 1 x 1 y b) Tìm số tự nhiên n cho B n2 n 13 số phương Câu (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB 2R Gọi Ax, By tia vng góc với AB( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By theo thứ tự C D Gọi I trung điểm đoạn thẳng CD a) Tính số đo góc COD b) Chứng minh OI CD OI vng góc với AB c) Chứng minh : AC.BD R2 d) Tìm vị trí điểm M để tứ giác ABCD có chu vi nhỏ a) Cho x, y thỏa mãn ĐÁP ÁN Câu a) ĐKXĐ: x 10, x x 1 x x 1 1 P : 10 x x x x x x 1.10 x x x 3 x 10 x 18 x x 24 3 x 10 x x 1 x 1 x 1 x 3 x x 3 x 3 x x 10 x 2 x 2 2 x 2 x 1 x x 10 x 1 1 x 1 x 1 : x 10 x :3 x 10 x 3 x x 1 b) x 3 2 32 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 Vậy P 1 3 2 2 1 1 2 Câu a) ĐKXĐ: x 1, y x y 1 2 x y 2 y 2 x y 2 x y 2 x y y y y (TM ) x x y 2 x y Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 3;2 b) ĐKXĐ: 1 x Đặt a x x a 0 a2 a x 1 x x 1 x Thay vào phương trình cho ta được: a 5(ktm) a2 a a 2a 15 a 3(tm) x 0(tm) Với a x x x 3(tm) Vậy S 0;3 c) Gọi số cần tìm abcd b, c, d 9;1 a Ta có: abcd 5445 ab 100.ab cd 5445 ab 99.55 99ab cd 99 55 ab cd 55 ab 00 ab 55, cd 00 abcd 5500 Vì cd số có chữ số nên 55 ab ab 54; cd 99 abcd 5499 Vậy số cần tìm 5500 5499 Câu a) Ta có 2n 1;2n ;2n 1là ba số tự nhiên liên tiếp nên 2n 1.2n. 2n 1 chia hết cho Mà 2n ,3 nên 2n 1 2n 1 chia hết cho Vậy A chia hết cho với số tự nhiên n b) Ta có: 8x y 8z 8x y 10 z 100 x y z 12,5 x y z 12 Ta có : x y z 11 x, y, z dương nên x y z 12 Ta có: 8x y 10 z 100 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x y z 12 x y z 12 x y z 12 8 x y 10 z 100 96 y z 100 y z Do x, y, z số nguyên dương nên z 1, y 2, x (1) c) Ta có xy 1 x 1 y 2 1 x y 1 x 1 y xy x2 y x2 x2 y x2 1 x 1 y y x y xy 1 x 1 y y x y xy 1 x 1 y 2 2 2 2 2 2 x y2 y x2 x y y x2 Câu a) Ta có x 2y x 1 y y 1 x 1 x 1 y 1 x 1 y x xy y xy y x xy xy y Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: y xy y.2 xy 2 xy xy xy Dấu " " xảy y xy x y 1 x y b) B số phương, nên 4B số phương Vậy MaxP Đặt 4B k (k số tự nhiên) 4n2 4n 52 k 2n 1 k 51 2n k 2n k 1. 51 51. 1 17. 3 17.3 Vì n số tự nhiên nên 2n k 2n k ta có hệ phương trình: 2n k 2n k (1) (2) n k 51 n k 17 2n k 51 2n k 17 (3) (4) n k n k Giải hệ 1 , , 3 , ta được: n 12; n 3; n 13; n Do n số tự nhiên nên n4;13 Câu D I M C A O B a) OC tia phân giác AOM (tính chất tia phân giác) OD tia phân giác MOB (tính chất tia phân giác) Mà AOM MOB hai góc kề bù OC OD hay COD 900 b) Tam giác COD vng O có IC ID OI CD (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Ta có: AC / / BD (cùng vng góc với AB) Suy tứ giác ABCD hình thang OI đường trung bình hình thang OI / / AC OI AB c) Xét tam giác COD vng O có OM CD (CD tiếp tuyến) Áp dụng hệ thức lượng ta có OM MC.MD hay MC.MD R C D giao tiếp tuyến nên CA CM , DB DM Suy CA.DB R2 d) Ta có : CA DB CD Hình thang ABCD có độ dài cạnh AB khơng đổi Nên chu vi hình thang nhỏ CD nhỏ CD nhỏ CD AB CD AB CD / / AB CD / / AB OM AB, OM AB M điểm cung AB ... Vậy S 0;3 c) Gọi số cần tìm abcd b, c, d 9; 1 a Ta có: abcd 5445 ab 100.ab cd 5445 ab 99 .55 99 ab cd 99 55 ab cd 55 ab 00 ab 55, cd 00 abcd... cd 00 abcd 5500 Vì cd số có chữ số nên 55 ab ab 54; cd 99 abcd 5 499 Vậy số cần tìm 5500 5 499 Câu a) Ta có 2n 1;2n ;2n 1là ba số tự nhiên liên tiếp nên 2n 1.2n.... OD hay COD 90 0 b) Tam giác COD vng O có IC ID OI CD (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Ta có: AC / / BD (cùng vng góc với AB) Suy tứ giác ABCD hình thang OI đường trung bình hình