031 đề thi HSG toán 9 huyện hà trung 2018 2019

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TRUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức  x 1 x    x 1 1  P   :  x 1    x  10  x   x  x   a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x  3 2 32  32 3 2 Câu (4,0 điểm)  x   y   1 a) Giải hệ phương trình:  2 x   y   b) Giải phương trình: x    x   x  1  x   c) Cho số tự nhiên có chữ số Nếu xóa chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 5445 đơn vị Tìm số cho Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh A   2n  1 2n  1 chia hết cho với số tự nhiên n b) Tìm tất số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: x  y  z  11 8x  y  10 z  100 c) Chứng minh xy  1  x 1  y   1thì x 2  y  y  x2  Câu (4,0 điểm) x 2y   Tìm giá trị lớn P  xy 1 x 1 y b) Tìm số tự nhiên n cho B  n2  n  13 số phương Câu (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB  2R Gọi Ax, By tia vng góc với AB( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By theo thứ tự C D Gọi I trung điểm đoạn thẳng CD a) Tính số đo góc COD b) Chứng minh OI  CD OI vng góc với AB c) Chứng minh : AC.BD  R2 d) Tìm vị trí điểm M để tứ giác ABCD có chu vi nhỏ a) Cho x, y  thỏa mãn ĐÁP ÁN Câu a) ĐKXĐ: x  10, x   x 1 x    x 1 1  P   :  10  x  x  x  x   x          x  1.10  x    x    x  3   x  10  x  18 x   x  24 3    x  10  x   x 1      x 1  x 1    x   3 x   x   3  x   3 x   x     10  x 2 x   2 2 x   2 x 1 x   x  10   x 1 1 x 1  x 1  :  x  10  x  :3 x   10  x  3 x    x 1   b) x  3 2 32   3 2 3 2 3 2  3  2   3  2   3  Vậy P   1       3 2  2 1 1  2 Câu a) ĐKXĐ: x  1, y   x   y   1 2 x   y   2  y      2 x   y   2 x   y   2 x   y    y    y  y     (TM ) x  x   y    2 x   y    Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   3;2  b) ĐKXĐ: 1  x  Đặt a  x    x  a  0 a2   a    x  1  x    x  1  x   Thay vào phương trình cho ta được:  a  5(ktm) a2  a   a  2a  15     a  3(tm)  x  0(tm) Với a   x    x     x  3(tm) Vậy S  0;3 c) Gọi số cần tìm abcd   b, c, d  9;1  a   Ta có:   abcd  5445  ab  100.ab  cd  5445  ab  99.55  99ab  cd  99 55  ab  cd 55  ab  00  ab  55, cd  00  abcd  5500 Vì cd số có chữ số nên  55  ab   ab  54; cd  99  abcd  5499 Vậy số cần tìm 5500 5499 Câu a) Ta có 2n  1;2n ;2n  1là ba số tự nhiên liên tiếp nên  2n  1.2n. 2n  1 chia hết cho Mà  2n ,3  nên  2n  1 2n  1 chia hết cho Vậy A chia hết cho với số tự nhiên n b) Ta có: 8x  y  8z  8x  y  10 z  100  x  y  z  12,5  x  y  z  12 Ta có : x  y  z  11 x, y, z dương nên x  y  z  12 Ta có: 8x  y  10 z  100 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  x  y  z  12  x  y  z  12  x  y  z  12    8 x  y  10 z  100 96  y  z  100  y  z  Do x, y, z số nguyên dương nên z  1, y  2, x  (1) c) Ta có xy  1  x  1  y  2 1  x y  1  x 1  y   xy  x2 y  x2  x2 y  x2  1  x 1  y     y  x y  xy 1  x 1  y    y  x y  xy 1  x 1  y   2 2 2 2 2 2   x  y2  y  x2   x  y  y  x2  Câu a) Ta có x 2y    x 1  y   y 1  x   1  x 1  y  1 x 1 y  x  xy  y  xy   y  x  xy  xy  y  Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:  y  xy  y.2 xy  2 xy   xy  xy  Dấu "  " xảy y  xy  x  y  1 x y b) B số phương, nên 4B số phương Vậy MaxP  Đặt 4B  k (k số tự nhiên) 4n2  4n  52  k   2n  1  k  51   2n   k  2n   k   1. 51  51. 1  17. 3  17.3 Vì n số tự nhiên nên 2n   k  2n   k ta có hệ phương trình:  2n   k   2n   k  (1) (2)   n   k   51 n   k   17   2n   k  51 2n   k  17 (3) (4)   n   k   n   k     Giải hệ 1 ,   ,  3 ,   ta được: n  12; n  3; n  13; n  Do n số tự nhiên nên n4;13 Câu D I M C A O B a) OC tia phân giác AOM (tính chất tia phân giác) OD tia phân giác MOB (tính chất tia phân giác) Mà AOM MOB hai góc kề bù  OC  OD hay COD  900 b) Tam giác COD vng O có IC  ID  OI  CD (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Ta có: AC / / BD (cùng vng góc với AB) Suy tứ giác ABCD hình thang  OI đường trung bình hình thang  OI / / AC  OI  AB c) Xét tam giác COD vng O có OM  CD (CD tiếp tuyến) Áp dụng hệ thức lượng ta có OM  MC.MD hay MC.MD  R C D giao tiếp tuyến nên CA  CM , DB  DM Suy CA.DB  R2 d) Ta có : CA  DB  CD Hình thang ABCD có độ dài cạnh AB khơng đổi Nên chu vi hình thang nhỏ CD nhỏ CD nhỏ CD  AB CD  AB CD / / AB CD / / AB OM  AB, OM  AB M điểm cung AB ... Vậy S  0;3 c) Gọi số cần tìm abcd   b, c, d  9; 1  a   Ta có:   abcd  5445  ab  100.ab  cd  5445  ab  99 .55  99 ab  cd  99 55  ab  cd 55  ab  00  ab  55, cd  00  abcd... cd  00  abcd  5500 Vì cd số có chữ số nên  55  ab   ab  54; cd  99  abcd  5 499 Vậy số cần tìm 5500 5 499 Câu a) Ta có 2n  1;2n ;2n  1là ba số tự nhiên liên tiếp nên  2n  1.2n.... OD hay COD  90 0 b) Tam giác COD vng O có IC  ID  OI  CD (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Ta có: AC / / BD (cùng vng góc với AB) Suy tứ giác ABCD hình thang  OI đường trung bình hình