021 đề thi HSG toán 9 huyện hoài nhơn 2018 2019

UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2018-2019 Mơn:TỐN Thời gian làm : 150 phút Bài (4,0 điểm) a) Thu gọn biểu thức A  b) Cho x  2 3 6 84 2 3 2 1 1  Tính giá trị biểu thức B  1  x  x  x3  x  2018 1 1 c) Cho x  3  2  3  2 y  17  12  17  12 Tính giá tri biểu thức: C  x3  y  3 x  y   2018 Bài (4,0 điểm) a) Tìm số ngun dương có hai chữ số, biết số bội tích hai chữ số số 1   1  b) Chứng minh số tự nhiên A  1.2.3 2017.2018.1      2017 2018   chia hết cho 2019 Bài (5,0 điểm) 3.1 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b2  c2   a  b 2   b  c 2   c  a 2 a) Tính a  b  c, biết ab  bc  ca  b) Chứng minh rằng: Nếu c  a, c  b c  a  b 3.2 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x2019  y 2019  z 2019  Tìm giá trị lớn biểu thức E  x2  y  z Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a Hai điểm M , N di động AM AN   Đặt AM  x, AN  y Chứng minh rằng: hai đoạn thẳng AB, AC cho MB NC a) MN  x2  y  xy b) MN  a  x  y c) MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), gọi M trung điểm cạnh BC, H trực tâm tam giác ABC K hình chiếu vng góc A KM cạnh BC Tính diện tích tam giác ABC , biết OM  HK  AM  30cm ĐÁP ÁN Bài      2   2 3 6 84  1 2 3 2 3 a)Ta có: A  b) ta có: x  1 1  2   1 1  1 1   1 1 Thay x  vào biểu thức, ta được: B  1  2            c) Ta có: x3    17  12    1 2   2   2018   1 2018 1    2  3.x   2   3x 17  22   17  12  y  17  12  34  y 3 2  3 2 Và y  2018 3 Cộng vế theo vế, ta được: x3  y3  40  3x  y  x3  y  3 x  y   2018  2058 Vậy C  2058 x  3  2  3  2 y  17  12  17  12 Bài a) Gọi số cần tìm ab , theo đề, ta có 10a  b  kab (trong  a, b  a, b, k  10 10 10 10  Vì  b       k   10 ka  1 a k k a a a 10  k   10  a  5 9   Từ    k     ;2; ;5;10  a  3  10 :  k       a   Suy b   ) a  a  a. 3k  5    +Nếu k      k  (ktm) hoac k  2(tm )  ab  36 a b    b  b  a  a. k     +Nếu k      k  3(tm)  ab  15 a b   b   a  a    a k        b  (ktm) hoac k  3(tm )  ab  24 +Nếu k     a b   b   b  a  a. k  5    k  6(tm)  ab  12 +Nếu k     a b   b   a  a. k  10     k  11(tm)  ab  11 +Nếu k   10   a b  b   Vậy ab11;12;15;24;36 1  1 b) Ta có : B  1.2.3 n.1      (*) số tự nhiên, : n  Với n  B  1  * Với n   B    * 1  1 Giả sử (*) n  k , nghĩa B  1.2.3 k.1       k  Cần chứng minh (*) n  k  1, nghĩa   1 B  1.2.3 (k  1).1      k 1   1  1  1 Ta có: 1.2.3 (k  1).1       1.2.3 1     . k  1  1.2.3 k k 1 k    1  1 1.2.3        k    Có : k  1  B 1.2.3 k    1  1 Vậy 1.2.3 n 1      số tự nhiên n   1  1  Suy ra, với n  2k 1.2.3 2k       1.2 k 1     số tự 2k  k   1        k  1 k   2k số tự nhiên nhiên nên  2k   k 1 k  Áp dụng chứng minh ta có:   1   1.2 1009.1          1010.1011 2018 số 1009   1010 1011 2018   tự nhiên 1011 Ta có:   1010.1011 1342 2018 2019 1324 673    1.2 1009.1    .1010.1011 1342.2018 2019 1009   3 Và   1.2.3 673 1009 2019 673 673  1    1.2 1009.    .1010.1011 2018 2019 2018   1010 1011 1   1  Vậy số tự nhiên A  1.2.3 2017.2018.1      chia hết cho 2019 2017 2018   Bài 3.1 a) Từ a  b2  c   a  b    b  c    c  a  2  a  b2  c   ab  bc  ca    ab  bc  ca  mà ab  bc  ca  Nên  a  b  c   36  a  b  c  6(do a, b, c  0) b) Ta có a  b2  c2   a  b    b  c    c  a    c  a  b   4ab 2 2 Khơng tính tổng quát , giả sử c  a  b Khi ta có: (1) c  a  b  2b  c  a  b   4ab  4b2   (2) c  a  b  2b 1  c  a  b   c  a  b (2)  c  a  b  2b  c  a  b  0(*), mà c  a  , nên (*) vô lý Vậy c  a, c  b c  a  b 3.2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có đánh giá sau: ) x 2019  x 2019       2019 x Dấu "  " xảy x  2017 so ) y 2019 y 2019       2019 y Dấu "  " xảy y  2017 so ) z 2019  z 2019       2019 z Dấu "  " xảy z  2017 so Khi đó:  x 2019  y 2019  z 2019   6051  2019. x  y  z   x  y  z  Dấu “=” xảy x  y  z  Vậy E đạt giá trị lớn x  y  z  Bài A H M I K N E D C B AN  AM  AN a   1   MB x  a  x AM AN  NC x  NC  1      x ya Vì AN AM y  a  y AM MB NC     y  a  y 1 1 MB  MB  NC Không tính tổng quát ta giả sử AM  AN Kẻ MH  AC AM Khi ta có: AH  AM cos600  a) Áp dụng định lý Pytago ta có: MN  MH  HN  AM  AH   AN  AH   AM  AN  AN AH  AM  AN  AM AN  x  y  xy   x  y   3xy Vậy MN  x  y  xy   x  y   3xy b) Theo đề, ta có: (1) AM AN AB AC  1 1 1  MB NC MB NC a a     a  a  x  y   a  3a  3a  x  y   3xy  a  2a  x  y   3xy (2) ax a y Thay (2) vào (1) ta được: MN   x  y   2a  x  y   a 2   x  y   2a  x  y   a   a  x  y  2 Vậy MN  a  x  y  a  x  y (vì x  y  a) c) Gọi K, E trung điểm AB, AC , D tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Kẻ DI  MN  I  MN  Khi ta dễ dàng tính được: a a a ; MK   x; NE   y 2 a a Ta có: KM  NE   x   y  MN  2  ax  ay  3xy  a  a  x  y  2 KD.MK KE.NE AH AN S DMN  2S AKD  S MKD  S NED  S AMN  DK AK    2 DK MN AH AN a a x 3y  DK AK      a  x  y   12 12 3 a DK MN   a  a  a  x  y   3xy    ax  ay  3xy    a  x  y   12 12 12 DI MN DK MN   DI  DK Suy DI bán kính đường tròn nội tiếp, mà Do đó: 2 MN  DI nên MN tiếp tuyến đường tròn DK  DE  Bài A D H O G B M K C Gọi D trung điểm AC Ta chứng minh AHB MOD (3 cặp cạnh song song) AG AB     HG  2OG GM MD Gọi G giao điểm AM OH Ta chứng minh AGH MGO( g.g ) AG HG AH     AH  2OM GM GO OM Dễ dàng chứng minh tứ giác IMKH hình chữ nhật (hình bình hành có góc vng)  HO  KM  HO  4OM  3OG  4OM Áp dụng định lý Pytago tam giác vng OGM , ta có:  16 AM 2 OM  OG  GM  OM  OM   5OM  AM  OM  6cm 9 Khi OH  24cm, AH  12cm, AK  18cm 2 2 Ta có OC  OA  OH  AH  12 5, từ tính BC  2MC  OC  OM  12 19 Vậy S ABC  AK BC 18.12 19   108 19(cm2 ) 2