PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm) Tính A 3 10 0,2 Tìm số tự nhiên n cho B n2 2n 18 số phương Với a, b số nguyên Chứng minh a chia cho 13 dư b chia cho 13 dư a b2 chia hết cho 13 Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức C x 3 x x 3 x 3 Tìm diều kiện xác x 2 x 3 x 1 3 x định rút gọn C a) Chứng minh x4 x với số thực x Dấu đẳng thức xảy 17 ? b) Cho a, b số thực thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức D a b4 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x4 x3 x 1 b) x x x x Giải toán sau cách lập phương trình: An dự định từ A đến B xe đạp điện khoảng thời gian định Nếu An với vận tốc 20km / h đến B sớm 12 phút Nếu An với vận tốc 12km / h đến B trễ 20 phút Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc đầu An Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD điểm M thuộc cạnh BC ( M khác B, C) Một đường thẳng qua A vng góc với AM cắt CD N a) Chứng minh BM DN AM b) Tính tỉ số MN Cho tam giác ABC , đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho AD BC Tại B kẻ BE AB cho BE AB (E C thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AB) Tại C kẻ CF AC cho CF AC (F B thuộc hai nửa mặt phẳng đối từ bờ AC ) Chứng minh ba đường thẳng DH , BF CE đồng quy Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn O; R điểm A ngồi đường tròn Từ điểm M di động đường thẳng d vng góc với OA A, vẽ tiếp tuyến ME, MF với đường tròn O ,( E, F tiếp điểm) Đường thẳng chứa đường kính đường tròn song song với EF cắt ME, MF C D Dây EF cắt OM H, cắt OA B Chứng minh rằng: OAOB không đổi Chứng minh EF qua điểm cố định M di chuyển đường thẳng d Tìm vị trí M đường thẳng d để diện tích HBO lớn ĐÁP ÁN Câu 1) A 2 2 3 2 10 0,2 2 20 5 2 5 20 18 2) Đặt n2 2n 18 a 2 a n 1 17 a n 1 a n 1 17 Vì a , n a n 1 a n 1 ;17 số nguyên tố Suy a n 17(*) a n a n Thay a n vào (*) tính n 3) Do a chia cho 13 dư nên a 13x x b chia cho 13 dư nên b 13 y 3 y a b 13x 13 y 3 2 169 x 52 x 169 y 78 y 13.13 x x 13 y y 1 13K 13 Vậy a b2 chia hết cho 13 dfcm Câu Điều kiện xác định: x 0, x C x x 3 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 x x x 12 x 18 x x x 1 x 3 x 3 x x x x x x x 3x x 24 2a) Ta có x4 x8 x 1 x 17 x 1 x 17 Mà 17 x 1 x x 1 với x 2 Vậy 17 x 1 x hay x4 Dấu " " xảy x x2 4 17 a b2 8 17 1 1 17 Mà a b D 2 17 17 Vậy GTNN D a b 2 Câu 1a) x4 x3 x (1) 1 x x3 x x x 2b) Áp dụng kết câu 2a) ta có: D x x 1 x 2 x x 1 x x2 x x x x x x 0(VN ) Vậy S 2 1 1b) x x (3) x x x x Điều kiện xác định x 2 x x 3 x x x x 2 x 1 x x x x 1 x x 1 x 0 x 2x 1 x 1 x 1 x2 x2 0 1 0(VN DK ) x 2x x 2x Vậy S 1 2) Gọi x (giờ) thời gian dự định lúc đầu ( x 0) Theo đề ta có phương trình: 1 1 20 x 12 x 20 x 12 x x 1(tm) 5 3 1 Vậy thời gian dự định giờ, quãng đường AB dài 20.1 16km 5 Câu B A M N C D 1) a) ABM ADN có: AB AD, ABM ADN 900 ; BAM DAN 900 MAD nên ABM ADN ( g.c.g ) BM DN b) Vì ABM ADN AM AN AMN vuông cân tai A AM Do MN AM MN AM AN AM AM 2 AM 2 D A F I E B H C 2) DAC BCF có: DA BC ( gt ); AC CF ( gt ); DAC BCF 900 ACH Nên DAC BCF ACD F Mà ACD DCF 900 F DCF 900 Gọi I giao điểm BF DC Trong CIF có F DCF 900 CIF 900 hay DC BF Chứng minh tương tự ta được: DB CE Trong DBC có DH , CE, BF đường cao nên chúng đồng quy Câu M E C H A B NK O F D OE OF R OM đường trung trực EF OM EF Ta có ME MF OB OH HOB AOM OA.OB OH OM (1) OM OA (2) EOM vuông E, đường cao EH nên OE OH OM 2 OE R (không đổi) Từ (1), (2) suy OAOB R2 2 Vì OA.OB R OB mà R khơng đổi OB khơng đổi mà O cố OA định nên B cố định Vậy điểm M di chuyển đường thẳng d EF qua điểm cố định B BO Gọi K trung điểm OB , mà BHO vuông H nên HK Do OB không đổi nên HK không đổi HN BO Kẻ HN BO , ta có: S BHO Vì BO khơng đổi, nên S HBO lớn HN lớn Mà HN HK , dấu " " xảy N K Vậy S HBO lớn HBO vuông cân H MO tạo với OA góc 450