Đang tải... (xem toàn văn)
Các đờng thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn O tơng ứng tại M’ và N’.. Chøng minh tø gi¸c MNN’M’ néi tiÕp.[r]
(1)Phòng giáo dục và đào tạo nga sơn Kú thi häc sinh giái líp n¨m häc 2008 – 2009 M«n thi: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Bµi (4 ®iÓm) : Cho biÓu thøc: [ P= − x− √x √x− √ x − 9−x : + − x−9 − √ x 3+ √ x x+ √ x −6 ][ ] a Rót gän biÓu thøc P b Tìm giá trị x để P = C©u2 ( ®iÓm) : Cho hÖ ph¬ng tr×nh hai Èn x, y sau: (m 1) x my 2m mx y m a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m =1 b) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn C©u ( ®iÓm ): Cho x, y tho¶ m·n: (x + x +2009 y + 2009 y +√ ¿ ¿ √¿ ¿ ¿ H·y tÝnh tæng S = x + y C©u (3 ®iÓm): Cho sè a, b, c kh¸c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: a+b − c = b+ c − a = c+ a −b c H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P= (1+ ba )(1+ bc )(1+ ac ) a b Câu (5 điểm ): Cho đờng tròn( O, R) và hai đờng kính AB, MN Các đờng thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến A đờng tròn( O) tơng ứng M’ và N’ Gọi P, Q theo thứ tự là c¸c trung ®iÓm M’A vµ N’A a Chøng minh tø gi¸c MNN’M’ néi tiÕp b Chứng minh các đờng cao Δ BPQ cắt trung điểm bán kÝnh OA c Giả sử AB cố định, MN thay đổi Tính giá trị nhỏ diện tích Δ BPQ theo R Câu6 : (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y 1+ xy Híng dÉn chÊm C© ý §Þnh Híng gi¶i u a ®k víi x 1, y §iÓ m 0,5 (2) 2.5 ® x≥0 x≥0 x−9≠0 ⇔ x ≠9 x≠ 2− √ x ≠0 { { √ x −3 ( √ x − 3)( 3+ √ x )+( √ x − 2)(2− √ x )+ − x ( √ x+3)¿ : (2 − √ x)(3+ √ x ) Ta cã: √ x( √ x −3) [ ] 0,5 1− 4® ¿ P=¿ 3+ √ x −√ x ¿ (2 − √ x) ¿ −¿ = √ x − x − = (2 − √ x)(3+ √ x ) ¿ ¿ 3 :¿ ¿ √ x +3 √ x +3 3 = VËy P = √x − √x− =1 ⇔ √ x − 2=3 ⇔ √ x=5 ⇔ x=25 Ta thÊy P = ⇔ √ x −2 [ b 1.5 ® a 1® b 2® ] [ ] VËy víi x = 25 th× P = Víi m = hÖ ph¬ng tr×nh hai Èn x, y sau: (m 1) x my 2m mx y m ¿ x + y=1 x − y=−1 ¿{ ¿ Giải ta đợc x = , y =1 HÖ lu«n cã nghiÖm nhÊt V× tõ (2) y m mx Thay vào (1) ta đợc: (m+1)x + m(- m2 +mx + 2) = 2m -1 (m2 + m + 1)x = m3 – 1 (m ) 0m Mµ m2 + m + = HÖ cã nghiÖm nhÊt lµ: x m y m Ta cã P = xy = (m -1)(2- m) = - m2 + 2m + m – (m 3m ) 4 = 1 (m )2 4 = 0,5 0,5 trë thµnh 0,5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 (3) 3 0 m 2 DÊu “=” x¶y m VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ MaxP = Ta cã: m 3® x +2009 y + 2009 y − √¿ ( ¿ y + 2009 y +√ ¿ x − √ ¿¿ ¿ x +2009 x − √¿ y 2+ 2009 y −√¿ <=> 2009=( ¿)¿ x +2009 x −√¿ ¿ ¿ 2009 ¿ 0,5 y +2009 y + √¿ ¿ x + 2009 VËy x − √¿ ¿ y +2009 y −√ ¿ (x+ √ x +2009)¿ 0.5 0.5 0.5 0.5 x √ y +2009=− y √ x 2+ 2009 (*) 0.5 NÕu x = => y = => S = NÕu x => y tõ (*) => VËy => xy < x + 2009 x = 2 y +2009 y => 2009x2 = 2009y2 => => (x-y)(x+y) = mµ xy < => x - y 5® √ x 2+2009 =− x >0 √ y +2009 y x2 = y2 => S = x + y = a Ta cã: M’N’N = M’BA (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) (4) mµ M’BA = BMN M’N’N = BMN M’MN + M’N’N = M’MN + BMN = 1800 B 2® Tứ giác MNN’M’ nội tiếp đờng tròn §Æt : AM’ =a1 ; BM’ = a ; AN’ = a1 ; BN’ = b a1 +b1 Ta cã: PQ = Δ M’BN’ vu«ng t¹i B, BA M’N’ ⇒ BA2 = AM’.AN’ hay a1b1 = 4R2 Gäi H lµ trùc t©m Δ BPQ th× H AB XÐt hai tam gi¸c: Δ PAH vµ Δ BAQ cã HAP=BAQ = 1v HPA=QBA( Cïng phô víi AQB) ⇒ Δ PAH ∞ Δ BAQ a1 b R = 4R 4R ⇒ 2AH = ⇒ AH PA = AQ BA ⇒ AH = hay AH: b1 a1 : 2R = 2 R 0.5 0.5 VËy trùc t©m H cña Δ BPQ lµ trung ®iÓm cña OA 0.5 0.5 c) Ta cã SBPQ = AB PQ=R PQ 0.5 ⇒ SBPQ nhá nhÊt PQ nhá nhÊt ⇔ M’N’ nhá nhÊt( V× 2PQ=M’N’) Tõ PQ = a1 +b1 ⇒ 2PQ = a1+b1 mà a1b1 = 4R2 không đổi 0.5 ⇒ 2PQ = a1+b1 nhá nhÊt a1 = b1 = 2R ⇒ PQ = 2R ⇔ M’N’ = 4R = 2AB ⇒ AB = M’N’ vµ AM’ = AN’ ⇔ Δ BM’N’ c©n BMN = BNM =BM’N’=BN’M’ ⇒ MN//M’N’ ⇔ MN AB t¹i O VËy minSBPQ = 2R2 MN AB t¹i O 0.5 ⇒ 0.5 (5)