Rút gọn các biểu thức: a.. Giải các phương trình: a.. H:y tìm các điểm trên đường thẳng d có toạ độ nguyên và nằm trong góc phần tư thứ I.. Một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với các đư
Trang 1Phòng giáo dục & đào tạo
Huyện nga sơn
(Đề thi gồm có 01 trang)
đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs cấp huyện
năm học: 2010 - 2011 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 20/ 01/ 2011
Câu 1: ( 4 điểm)
Rút gọn các biểu thức:
a A = 2 10 ( 5 7 )
+ +
b B = 2
2
1 1
1
với a > 0
Câu 2: (4 điểm)
Giải các phương trình:
a 1 ư +x 4 + =x 3
b Cho ba số , ,a b c thoả m:n điều kiện: a+ + =b c abc Chứng minh rằng:
( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )
Câu 3: (3 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình:
3x + 4y = 21 H:y tìm các điểm trên đường thẳng (d) có toạ độ nguyên và nằm trong góc phần tư thứ (I)
Câu 4: (2.0 điểm) Chứng minh rằng: Tổng S =
100
1
4
1 3
1 2
1
1 + + + + + không thể là một số nguyên
Câu 5: (6.0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc ngoài với đường tròn (O’; r) tại A Một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại B và C Kẻ AH vuông góc với BC
a Tính diện tích Tứ giác OBCO’
b Chứng minh rằng: Giao điểm D của OC và O’B là trung điểm của AH
Câu 6: (1.0 điểm)
Tìm các số nguyên ,x y thoả m:n phương trình: 5 x+25= ư3xy+8y2
-Hết -
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:…………
Đề chính thức
Trang 2Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện nga sơn
Hướng dẫn chấm
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010 – 2011
Môn thi: Toán
a
(2đ) A = 2 10 ( 5 7 )
+ +
( 2 10 2)( 5 7 ) ( 5 7)
+ ư
( ) ( ) (2 2 )
2 10 2 5 7
5 7
+ ư
= 2 10( 2 5 7) ( )
5 7
2 10
+ ư
= 2 + 5 + 7 ư 5 ư 7
= 2
0.5 0.5
0.5 0.5
Câu1
4đ
b
(2đ) B = 2
2
1 1
1
với a > 0
B = 2 ( )2
2
1 1
1 4
a a
= ( )2
2
4
a
+ ư = ( )2
1 2 4
a a
ư
= 1 a
a
ư
=
1 (0 1) 1
( 1)
a a a a a a
ư
< ≤
ư
>
0.5 0.5 0.5
0.5
Câu2
4đ
a
2.5đ
1 ư +x 4 + =x 3 (1)
x
(1) ⇔ ư + + + (1 x) (4 x) 2 (1 ưx)(4 +x)= 9
⇔ (1 ưx)(4 +x)= 2
0.5
0.5
Trang 3⇔ (1 ưx)(4 + =x) 4
⇔ -x2 - 3x = 0
⇔ -x(x + 3) = 0
⇔ x = 0; x = -3
Đối chiếu với điều kiện của x ta có nghiệm của phương trình là
x = 0, x = -3
0.5 0.5
0.5
b
1.5đ Ta có: ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 )
a b ư c ư +b a ư c ư +c a ư b ư
= (a+ +b c bc) + 2 2
ư ư + + (a+ +b c ac) + 2 2
(a+ +b c ab) 2 2
=3abc+ + + =a b c 4abc (đpcm)
0.5 0.5
0.5
Câu3
3đ
- Toạ độ các điểm cần tìm chính là nghiệm nguyên dương của phương trình đ: cho
- Giải phương trình nghiệm nguyên dương 3x + 4y = 21 tìm được nghiệm (x = y = 3)
- Vậy điểm cần tìm là (3; 3)
0.5 1.25
0.25
Câu4
2 = 2 2 > 3 2 = ư
+ Tương tự ta cũng có:
1 2( 4 3)
3 > ư
1 2( 101 100)
100 > ư Suy ra S > 1 + 2( 3 ư 2) (+ 4 ư 3)+ + ( 101 ư 100)
S > 1 + 2( 101 ư 2) > 1 + 2(10 - 1.5) = 18 Vậy S > 18 (1)
Ta lại có: 1 2 2 2( 2 1)
2 = 2 2 < 2 1 = ư
+ Tương tự ta cũng có:
1 2( 3 2)
3 < ư
1 2( 100 99)
100 < ư
0.25
0.25
0.5 0.25
0.25
Trang 4Suy ra S < 1+ 2( 2 ư 1) (+ 3 ư 2)+ + ( 100 ư 99)
S < 1 + 2( 100 ư 1) = 19 (2)
Từ (1) và (2) ta có 18 < S < 19 Chứng tỏ S không thể là số nguyên
0.25 0.25
Câu5
6đ
a
3.0đ
- Từ A kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt BC tại M
Chứng minh được BC = 2 AM
- Chứng minh được tam giác OMO’
vuông tại M
có MA là đường cao nên
MA2 = OA.O’A = Rr
Từ đó tính được BC = 2MA = 2 Rr
- Chỉ ra tứ giác OBCO’ là hình thang vuông
có diện tích là: S = 1( ).2 ( )
0.5
0.5
0.5 0.5 0.5 0.5
b
3.0đ
Gọi giao điểm của BO’ và AH là D Các đường thẳng OB, AH và O’C song song (vì cùng vuông góc với BC) nên ta có: '
'
DH CD O A
OB =CO =O O Rr
DH
R r
+ Tương tự tính được DA = Rr
R+r
Như vậy BO’ cắt AH tại trung điểm D của AH
Chứng minh tương tự ta cũng được CO cắt AH tại trung điểm D của
AH
Vậy hai đường thẳng BO’ và CO cắt nhau tại trung điểm của AH
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5
Câu6
2
y x
y
ư
=
+ Do ,x y∈ Ζ nên
2
8y ư25 3⋮ y+5 2
24y 40y 40y 75 3y 5
⇒ + ư ư ⋮ + ⇒ -40y-75 chia hết cho 3y+5
120y 225 3y 5
⇒ư ư ⋮ + ⇒ư25 3⋮ y+5⇒3y+ = ± ± ±5 1; 5; 25
( ) (x y, { 7; 2 ;) ( 5;0 ;) ( 3; 10) }
0.5 0.5
O
O’
A
B H C
D
M