Phòng giáo dục & đào tạo Huyện nga sơn (Đề thi gồm có 01 trang) đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs cấp huyện năm học: 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 20/ 01/ 2011 Câu 1: ( 4 điểm) . Rút gọn các biểu thức: a. A = 2 10 ( 5 7) 2 5 7 + + b. B = 2 2 1 1 1 4 a a + với a > 0 Câu 2: (4 điểm). Giải các phơng trình: a. 1 4 3 x x + + = b. Cho ba số , , a b c thoả mn điều kiện: a b c abc + + = . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 a b c b a c c a b abc + + = Câu 3: (3 điểm) . Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x + 4y = 21. Hy tìm các điểm trên đờng thẳng (d) có toạ độ nguyên và nằm trong góc phần t thứ (I). Câu 4: ( 2.0 điểm) . Chứng minh rằng: Tổng S = 100 1 4 1 3 1 2 1 1 +++++ không thể là một số nguyên. Câu 5: (6.0 điểm) . Cho đờng tròn (O; R) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O; r) tại A. Một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với các đờng tròn (O) và (O) lần lợt tại B và C. Kẻ AH vuông góc với BC. a. Tính diện tích Tứ giác OBCO. b. Chứng minh rằng: Giao điểm D của OC và OB là trung điểm của AH. Câu 6: (1.0 điểm) . Tìm các số nguyên , x y thoả mn phơng trình: 5 2 25 3 8 x xy y + = + . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Đề chính thức Phòng giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn Hớng dẫn chấm Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010 2011 Môn thi: Toán Câu ý Tóm tắt lời giải Điểm a. (2đ) A = 2 10 ( 5 7) 2 5 7 + + = ( ) ( )( ) ( ) 2 10 2 5 7 5 7 2 5 7 2 5 7 + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 10 2 5 7 5 7 2 5 7 + + = ( ) ( ) 2 10 2 5 7 5 7 2 10 + = 2 5 7 5 7 + + = 2 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu1 4đ b. (2đ) B = 2 2 1 1 1 4 a a + với a > 0 B = 2 ( ) 2 2 1 1 1 4 a a + = ( ) 2 1 4 2 4 a a a + = ( ) 2 1 2 4 a a = 1 a a = 1 (0 1) 1 ( 1) a a a a a a < > 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu2 4đ a 2.5đ 1 4 3 x x + + = (1) Điều kiện: 1 0 1 4 1 4 0 4 x x x x x + (1) ( ) ( ) (1 ) (4 ) 2 1 4 9 x x x x + + + + = ( ) ( ) 1 4 2 x x + = 0.5 0.5 ( ) ( ) 1 4 4 x x + = -x 2 - 3x = 0 -x(x + 3) = 0 x = 0; x = -3 Đối chiếu với điều kiện của x ta có nghiệm của phơng trình là x = 0, x = -3 0.5 0.5 0.5 b 1.5đ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c b a c c a b + + = 2 2 2 2 ab c ab ac a + + 2 2 2 2 ba c ba bc b + + 2 2 2 2 cb a cb ca c + = ( ) a b c bc + + + 2 2 ab ac a + + ( ) a b c ac + + + 2 2 ba bc b + + ( ) a b c ab + + 2 2 cb ca c + = 2 2 abc b c bc + + 2 2 ab ac a + 2 2 abc a c ac + + + 2 2 ba bc b + 2 2 2 2 abc ab a b ca cb c + + + + = 3 4 abc a b c abc + + + = (đpcm) 0.5 0.5 0.5 Câu3 3đ - Toạ độ các điểm cần tìm chính là nghiệm nguyên dơng của phơng trình đ cho. - Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng 3x + 4y = 21 tìm đợc nghiệm (x = y = 3) - Vậy điểm cần tìm là (3; 3). 0.5 1.25 0.25 Câu4 2đ Ta có: 1 2 2 2( 3 2) 2 2 2 3 2 = > = + Tơng tự ta cũng có: 1 2( 4 3) 3 > . . . 1 2( 101 100) 100 > Suy ra S > 1 + 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 4 3 101 100 + + + S > 1 + 2( 101 2) > 1 + 2(10 - 1.5) = 18 Vậy S > 18 (1) Ta lại có: 1 2 2 2( 2 1) 2 2 2 2 1 = < = + Tơng tự ta cũng có: 1 2( 3 2) 3 < . . . 1 2( 100 99) 100 < 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 Suy ra S < 1+ 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 100 99 + + + S < 1 + 2( 100 1) = 19 (2) Từ (1) và (2) ta có 18 < S < 19. Chứng tỏ S không thể là số nguyên 0.25 0.25 Câu5 6đ a 3.0đ - Từ A kẻ tiếp tuyến chung của hai đờng tròn cắt BC tại M. Chứng minh đợc BC = 2 AM. - Chứng minh đợc tam giác OMO vuông tại M có MA là đờng cao nên MA 2 = OA.OA = Rr Từ đó tính đợc BC = 2MA = 2 Rr - Chỉ ra tứ giác OBCO là hình thang vuông có diện tích là: S = 1 ( ).2 ( ) 2 R r Rr R r Rr + = + 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 b 3.0đ Gọi giao điểm của BO và AH là D. Các đờng thẳng OB, AH và OC song song (vì cùng vuông góc với BC) nên ta có: ' ' DH CD O A OB CO O O = = Rr DH R r = + Tơng tự tính đợc DA = Rr R r + Nh vậy BO cắt AH tại trung điểm D của AH. Chứng minh tơng tự ta cũng đợc CO cắt AH tại trung điểm D của AH. Vậy hai đờng thẳng BO và CO cắt nhau tại trung điểm của AH. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu6 1 đ 5 2 25 3 8 x xy y + = + 2 8 25 3 5 y x y = + . Do , x y nên 2 8 25 3 5 y y + 2 24 40 40 75 3 5 y y y y + + -40y-75 chia hết cho 3y+5 120 225 3 5 y y + 25 3 5 3 5 1; 5; 25 y y + + = ( ) ( ) ( ) ( ) { } , 7; 2 ; 5;0 ; 3; 10 x y 0.5 0.5 O O A B C H D M . tạo Huyện nga sơn (Đề thi gồm có 01 trang) đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs cấp huyện năm học: 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 20/ 01/ 2011 . danh: Đề chính thức Phòng giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn Hớng dẫn chấm Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010 2011 Môn thi: Toán Câu ý Tóm tắt lời giải Điểm a. (2đ) A =. 1 2( 100 99 ) 100 < 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 Suy ra S < 1+ 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 100 99 + + + S < 1 + 2( 100 1) = 19 (2) Từ