ĐỀ - ĐÁP ÁN THI HSG TOÁN 6 Huyện Hoài Nhơn. Năm học 2015 - 2016 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án,...
Phòng GD&ĐT Tiên Lãng Đề thi học sinh giỏi Môn toán Lớp 6 Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (2 điểm) Tính nhanh: a/ (-47) + 74 - ( 53 - 26) b/ 2008.2009 4018 2010.2011 4020 + − Bài 2 (3 điểm) a/ Tìm số tự nhiên n biết rằng khi chia 147 và 193 cho n thì có số dư lần lượt là 17 và 11. b/ Khi cộng vào cả tử và mẫu của phân số 3 7 với cùng một số nguyên x thì được một phân số có giá trị bằng 1 3 . Tìm số nguyên x? c/ Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng tỏ rằng P = a b c a b b c c a + + + + + không phải là một số nguyên. Bài 3 (2,5 điểm) Bài kiểm tra chất lượng học kỳ I môn Toán của lớp 6A không có bạn nào bị điểm dưới trung bình. Số học sinh đạt điểm loại trung bình bằng 60% số học sinh cả lớp; số học sinh đạt điểm loại khá bằng 2 7 số học sinh cả lớp. Biết rằng, lớp 6A có khoảng từ 30 đến 40 bạn và tất cả các bạn đều tham gia kiểm tra. Hỏi bài kiểm tra đó có bao nhiêu học sinh đạt điểm loại giỏi ? Bài 4 (2,5 điểm) Trên tia Ox lấy các điểm A và B sao cho OA = 2cm, AB = 6cm. a/ Tính khoảng cách giữa trung điểm I của đoạn thẳng OA và trung điểm K của đoạn thẳng AB. b/ M là một điểm nằm ngoài đường thẳng AB. Biết · OMB = 100 O và · · 2 3 OMA AMB= , tính số đo · AMB . ================Hết================ HNG DN CHM TON 6 Bài Nội dung Điểm 1 (2đ) a = - 47 + 74 - 53 + 26 0.25 = -(47 +53) +(74 + 26) 0.25 = -100 +100 = 0 0.25 b 2008.2009 + 4018 = 2008.2009 + 2.2009 0.25 = 2009.(2008+2) = 2009.2010 0.25 2010.2011-4020 = 2010.2011-2.2010 0.25 = 2010.(2011-2) = 2010.2009 0.25 2008.2009 4018 2010.2011 4020 + = 1 0.25 2 (3đ) a 147 chia cho n d 17; n N nên n > 17 và 147 -17 M n hay 130 M n 0.25 193 cho n d 11 nên 193 - 11 M n hay 182 M n n ƯC(130,182) 0.25 ƯC(130,182) = { } 1; 2; 13; 26 0.25 n > 17 nên n = 26. 0.25 b Từ đề bài suy ra 3 1 7 3 x x + = + 0.25 3(3+x) = 7+x 0.25 9 +3x = 7+x 3x - x = 7 - 9 0.25 2x = -2 x = -1 0.25 c Do a, b, c dơng nên a a b+ > a a b c+ + ; b b c+ > b a b c+ + ; c c a+ > c a b c+ + 0.25 P = a b c a b b c c a + + + + + > a b c a b c a b c a b c + + + + + + + + = 1 0.25 Do a, b, c có vai trò bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử a b c Ta có a, b, c dơng và a b c + a c + b c c a+ c c b+ b c b c c a + + + b c b c c b + + + = 1 0.25 Do a, b dơng nên a a b+ < 1 a b c a b b c c a + + + + + < 2 1< a b c a b b c c a + + + + + < 2 nên P không phải là số nguyên 0.25 3 (2,5đ) Số học sinh đạt điểm loại khá và trung bình bằng: 60% + 2 7 = 3 5 + 2 7 = 31 35 (Số học sinh cả lớp) 0.5 Số học sinh đạt điểm loại giỏi bằng: 0.5 1- 31 35 = 4 35 (Số học sinh cả lớp) Vì số học sinh đạt loại giỏi bằng 4 35 số học sinh cả lớp nên số học sinh cả lớp là bội của 35. 0.25 Ta có B(35) = { } 0; 35; 70; 105 . 0.25 Vì lớp 6A có khoảng từ 30 đến 40 bạn nên số học sinh lớp 6A là 35 bạn. 0.5 Số học sinh đạt điểm loại giỏi là: 4 35 . 35 = 4 (Bạn) Đáp số: 4 bạn. 0.5 4 (2,5đ) xK M I AO B 0.5 a Chứng tỏ đợc A nằm giữa O và B 0.25 Tính đợc IA = 1cm; AK = 3cm 0.25 Chứng tỏ đợc A nằm giữa I và K 0.25 Suy ra IK = 4 cm 0.25 b Chứng tỏ đợc tia MA nằm giữa hai tia MO và MB 0.25 ã ã ã OMA AMB OMB+ = 0.25 ã ã 2 100 3 o AMB AMB+ = 0.25 ã AMB = 60 O 0.25 Tổng 10.0 L u ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Nếu học sinh không vẽ hình thì chấm một nửa số điểm của phần làm bài hình, học sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm bài hình. - Bài làm không chặt chẽ, không đủ cơ sở ở phần nào thì trừ một nửa số điểm ở phần đó. - Tuỳ theo bài làm của học sinh giám khảo có thể chia nhỏ mỗi ý của biểu điểm. ================Hết================ PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO HOÀI NHƠN ***** ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,0 điểm) a) Cho n = 7a5 + 8b4 Biết a – b = n chia hết cho Tìm a b b) Tìm số tự nhiên x, y cho: 5x + 12y = 26 Bài 2: (4,0 điểm) a 1 − = b+3 1 22 ( + + + ).x= 45 1.2.3 2.3.4 8.9.10 a)Tìm số nguyên a, b biết rằng: b) Tìm x, biết : Bài 3: (4,0 điểm) a) Cùng công việc người làm riêng người A, B, C hoàn thành công việc thời gian giờ, giờ, 12 Hai người B C làm chung sau người C chuyển làm việc khác, người A làm với người B tiếp tục công việc hoàn thành Hỏi người A làm giờ? b) Cho D = + 52 + 53 + 54 + + 519 + 520 Tìm số dư chia D cho 31 Bài 4:(4,0 điểm) a) So sánh M N biết: M= 19 30 + 19 31 + ; N = 19 31 + 19 32 + b) Thực tính: E = 1+ 1 1 ( + ) + ( + + 3) + ( + + + ) + + ( + + + 200 ) 200 Bài 5: (4,0 điểm) · · · a) Cho: xOy = 1200, xOz = 500 Gọi Om tia phân góc ·yOz Tính xOm b) Cho 20 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng, ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi từ 20 điểm vẽ tất đường thẳng? PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO HOÀI NHƠN ***** Câu (4đ) Phần a (2đ) b (2đ) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN: TOÁN Nội dung cần trình bày Cho n = 7a5 + 8b4 Biết a – b = n chia hết cho Tìm a b Ta có: n = 7a5 + 8b4 M9 ⇔ + a + + + b + M9 ⇔ 24 + a + b M ⇒ a + b ∈ { 3;12} (vì a + b < 19) Mà a – b = nên a + b > Do a + b = 12 Kết hợp với a – b = 6, suy a = 9, b = Tìm số tự nhiên x, y cho: 5x + 12y = 26 Ta có 122 = 144 > 26 y N => ≤ y ≤ => y Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 +) Với y = => 5x + 121 = 26 => 5x = 14 => không tìm 0,5 x x x +) Với y = => + 12 = 26 => = 25=5 => x = 2 (4đ) a (2đ) Tìm số nguyên a, b biết rằng: a 1 − = b+3 a 1 2a − − = ⇒ = ⇒ (2a − 7)(b + 3) = 14 b+3 14 b+3 Do a, b ∈ Z nên 2a – ∈ Ư(14) 0,5 0,5 0,5 Vì 2a – lẻ nên 2a – ∈{ −7; −1;1;7} ⇒ a ∈ { 0;3; 4;7} Từ tính được: (a; b) = (0; -5), (3; -17), (4; 11), (7; -1) b (2đ) 0,5 1 22 + + + ).x= 45 1.2.3 2.3.4 8.9.10 1 22 ( + + + ).x= 45 1.2.3 2.3.4 8.9.10 1 1 1 22 ( − + − + ×××+ − ).x= 8.9 9.10 45 1.2 2.3 2.3 3.4 1 22 ⇒ ( − ).x= 45 2 90 ⇒ x=2 Tìm x , biết : ( 0,5 0,5 0,5 Cùng công việc người làm riêng người A, B, C hoàn thành công việc thời gian giờ, giờ, 12 Hai người B C làm chung sau người C chuyển làm việc khác, người A làm với người B tiếp tục công việc hoàn thành Hỏi người A làm giờ? (4đ) a (2đ) Trong người A, B, C làm 1 1 (CV ) , (CV ) , B C làm + = (CV ) 12 12 24 (CV ) , 0,5 5 ⋅ = (CV ) 24 12 A B làm − = (CV ) 12 12 1 A B làm được: + = (CV ) 24 7 Thời gian A làm với B là: : = 12 24 B C làm 0,5 0,5 0,5 0,5 19 20 Cho D = + + + + + + Tìm số dư chia D cho 31 D + = (1+ + 52 ) + 53(1+ + 52 ) + 56(1+ + 52 ) + + 518(1+ + 52 ) Do + + 52 = 31 nên D + chia hết cho 31 => D chia 31 dư 30 19 30 + 19 31 + ; N = 19 31 + 19 32 + 90 19.(19 30 + 5) 19 30 + 19 31 + 95 M = 31 nên 19M = = = + 31 31 31 19 + 19 + 19 + 19 + 31 31 32 90 19.(19 + 5) 19 + 19 + 95 N = 32 nên 19N = = 32 = + 32 32 19 + 19 + 19 + 19 + 90 90 Vì 31 > 32 19 + 19 + 90 90 Suy + 31 > + 32 19 + 19 + So sánh M N biết M = Hay 19M > 19N Nên M > N Thực tính: E = 1+ 1 1 ( + ) + ( + + 3) + ( + + + ) + + ( + + + 200 ) 200 Từ + + + + n = n(n + 1) được: 2.3 3.4 4.5 200.201 E = 1+ + + + + 2 200 201 = + + + + + 2 2 (4đ) b (2đ) E+ 1 201 = + + + + + + 2 2 2 ( + + + + 201) 1 201.202 − E = ( + + + + 201) − = 2 2 = = 10150 0,5 0,5 0,5 0,5 (4đ) a (2đ) Cho: Tính · · xOy = 1200, xOz = 500 Gọi Om tia phân góc ·yOz · xOm a, Trường hợp : tia Oy, Oz thuộc nửa mặt phẳng có bờ Ox · · = 500 < 1200 = xOy nên tia Oz xOz nằm Ox Oy ·yOz = xOy · · – xOz = 1200 – 500 = 700 ·yOz · = = 350 zOm ·xOm = 350 + 500 = 850 b, Trường hợp : tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ Ox Từ đầu ta có Ox nằm tia Oy Oz ·yOz = 1200 + 500 = 1700 170° · = = 850 zOm · = 850 – 500 = 350 xOm Cho 20 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng, ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi từ 20 điểm vẽ tất đường thẳng? Nếu 20 điểm ba điểm thẳng hàng vẽ 20.(20 − 1) = 190 (Đường thẳng) Trong điểm ba điểm thẳng hàng tạo thành 7.(7 − 1) = 21 (Đường thẳng) Vì điểm thẳng hàng tạo thành đường thẳng nên số đường thẳng giảm 21 - = 20 (Đường thẳng) Vậy có 190 – 20 = 170 (Đường thẳng) Lưu ý : Mọi cách giải khác cho điểm tối đa Phòng giáo dục & đào tạo Huyện nga sơn (Đề thi gồm có 01 trang) đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs cấp huyện năm học: 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 20/ 01/ 2011 Câu 1: ( 4 điểm) . Rút gọn các biểu thức: a. A = 2 10 ( 5 7) 2 5 7 + + b. B = 2 2 1 1 1 4 a a + với a > 0 Câu 2: (4 điểm). Giải các phơng trình: a. 1 4 3 x x + + = b. Cho ba số , , a b c thoả mn điều kiện: a b c abc + + = . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 a b c b a c c a b abc + + = Câu 3: (3 điểm) . Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x + 4y = 21. Hy tìm các điểm trên đờng thẳng (d) có toạ độ nguyên và nằm trong góc phần t thứ (I). Câu 4: ( 2.0 điểm) . Chứng minh rằng: Tổng S = 100 1 4 1 3 1 2 1 1 +++++ không thể là một số nguyên. Câu 5: (6.0 điểm) . Cho đờng tròn (O; R) tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O; r) tại A. Một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với các đờng tròn (O) và (O) lần lợt tại B và C. Kẻ AH vuông góc với BC. a. Tính diện tích Tứ giác OBCO. b. Chứng minh rằng: Giao điểm D của OC và OB là trung điểm của AH. Câu 6: (1.0 điểm) . Tìm các số nguyên , x y thoả mn phơng trình: 5 2 25 3 8 x xy y + = + . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Đề chính thức Phòng giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn Hớng dẫn chấm Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010 2011 Môn thi: Toán Câu ý Tóm tắt lời giải Điểm a. (2đ) A = 2 10 ( 5 7) 2 5 7 + + = ( ) ( )( ) ( ) 2 10 2 5 7 5 7 2 5 7 2 5 7 + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 10 2 5 7 5 7 2 5 7 + + = ( ) ( ) 2 10 2 5 7 5 7 2 10 + = 2 5 7 5 7 + + = 2 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu1 4đ b. (2đ) B = 2 2 1 1 1 4 a a + với a > 0 B = 2 ( ) 2 2 1 1 1 4 a a + = ( ) 2 1 4 2 4 a a a + = ( ) 2 1 2 4 a a = 1 a a = 1 (0 1) 1 ( 1) a a a a a a < > 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu2 4đ a 2.5đ 1 4 3 x x + + = (1) Điều kiện: 1 0 1 4 1 4 0 4 x x x x x + (1) ( ) ( ) (1 ) (4 ) 2 1 4 9 x x x x + + + + = ( ) ( ) 1 4 2 x x + = 0.5 0.5 ( ) ( ) 1 4 4 x x + = -x 2 - 3x = 0 -x(x + 3) = 0 x = 0; x = -3 Đối chiếu với điều kiện của x ta có nghiệm của phơng trình là x = 0, x = -3 0.5 0.5 0.5 b 1.5đ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c b a c c a b + + = 2 2 2 2 ab c ab ac a + + 2 2 2 2 ba c ba bc b + + 2 2 2 2 cb a cb ca c + = ( ) a b c bc + + + 2 2 ab ac a + + ( ) a b c ac + + + 2 2 ba bc b + + ( ) a b c ab + + 2 2 cb ca c + = 2 2 abc b c bc + + 2 2 ab ac a + 2 2 abc a c ac + + + 2 2 ba bc b + 2 2 2 2 abc ab a b ca cb c + + + + = 3 4 abc a b c abc + + + = (đpcm) 0.5 0.5 0.5 Câu3 3đ - Toạ độ các điểm cần tìm chính là nghiệm nguyên dơng của phơng trình đ cho. - Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng 3x + 4y = 21 tìm đợc nghiệm (x = y = 3) - Vậy điểm cần tìm là (3; 3). 0.5 1.25 0.25 Câu4 2đ Ta có: 1 2 2 2( 3 2) 2 2 2 3 2 = > = + Tơng tự ta cũng có: 1 2( 4 3) 3 > . . . 1 2( 101 100) 100 > Suy ra S > 1 + 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 4 3 101 100 + + + S > 1 + 2( 101 2) > 1 + 2(10 - 1.5) = 18 Vậy S > 18 (1) Ta lại có: 1 2 2 2( 2 1) 2 2 2 2 1 = < = + Tơng tự ta cũng có: 1 2( 3 2) 3 < . . . 1 2( 100 99) 100 < 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 Suy ra S < 1+ 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 100 99 + + + S < 1 + 2( 100 1) = 19 (2) Từ (1) và (2) ta có 18 <