Tìm x nguyên để M có giá trị nhỏ nhất.. Vẽ AH vuông góc với BC tại H.. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = HC.. Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.. Ghi c
Trang 1UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN: TOÁN 7 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)
a) So sánh: 17 26 1 và 99
Tính S P 2016
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số Tìm hợp số r
b) Tìm số tự nhiên ab sao cho ab2 (a b )3
Bài 3: (6,0 điểm)
a) Cho x; y; z 0 và x – y – z = 0 Tính giá trị biểu thức B 1 z 1 x 1 y
c) Cho biểu thức 5
2
x M
x
Tìm x nguyên để M có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: (3,0 điểm) Cho 0
60
đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C Kẻ BH Ay tại H, CM Ay tại M, BK AC tại K Chứng minh:
2
AC
c) ΔKMCKMC đều
Bài 5: (3,0 điểm) Cho ABC có Bµ 2.Cµ < 900 Vẽ AH vuông góc với BC tại H Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = HC Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC
Ghi chú: Học sinh không được sử dụng các loại máy tính.
Họ và tên thí sinh: SBD:
Họ tên và chữ ký giám thị 1:
Họ tên và chữ ký giám thị 2:
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015 – 2016
Đề chính thức
Trang 2Câu Nội dung Điểm
a)
Ta có: 17 16; 26 25 => 17 26 1 > 16 25 1 4 5 1 10 0,5đ
Mà 10 = 100 99
b)
Chứng minh: 1 1 1 1 1 10
Suy ra: 1 1 1 1 100 1 10
1 2 3 100 100
100
1
3
1 2
1 1
1
0,5đ
c)
P Tính S P 2016
2,0đ
0,5đ
Do đó S P 2016= 0
0,5đ
a)
Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r là hợp số Tìm hợp số r 2,0đ
Vì p chia cho 42 có số dư là r nên: p = 42k + r (0 < r < 42, k, r tự nhiên)
Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3; 7
=> r là hợp số không chia hết cho 2; 3; 7 và r < 42 1,0đ Học sinh chỉ ra được r = 25
b) Tìm số tự nhiên ab sao cho ab2 (a b )3 2,0đ
Ta có: (a + b)3 = 2
ab là số chính phương nên a + b là số chính phương
Suy ra: ab2 (a b )3 = x6
=> x3 = ab < 100 và ab > 8 => 8 < x3 < 100 => 2 < x < 5 => x = 3; 4 vì x N* 1,0đ
- Nếu x = 3 => ab2 (a b )3= 36 = 729 = 272 = (2 + 7)3 => x = 3 (nhận)
- Nếu x = 4 => ab2 (a b )3= 46 = 4096 = 642 (6 + 4)3 = 1000
0,5đ
Trang 3y
z C
M
=> x = 4 (không thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là: ab = 27
a)
Cho x; y; z 0 và x–y–z = 0 Tính giá trị biểu thức B 1 z 1 x 1 y
Ta có: B 1 z 1 x 1 y x z y x z y
Từ: x – y – z = 0 => x – z = y; y – x = – z và y + z = x 1,0đ Suy ra: B = y z x 1( ; ;x y z 0)
x y z
b)
Chứng minh rằng:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
0
Từ (1) và (2) suy ra:
0,75đ
c)
Cho biểu thức 5
2
x M
x
M nhỏ nhất 3
2
x nhỏ nhất x – 2 lớn nhất và x – 2 < 0
x lớn nhất và x < 2 x = 1 (vì x nguyên)
1,0đ
Khi đó GTNN của M là: M = 3 1 4
a)
Ta có ·yAz zAx· = 300 (Az là tia phân giác của ·xAy)
Mà: ·yAz·ACB (Ay // BC, so le trong)
0,5đ
Trong tam giác cân ABC có BK là đường cao ứng với cạnh đáy
b)
Chứng minh: BH =
2
Trang 4B C A
D
H
K
I
Ta có: ·ABH 900 xAy· 300 (ABH vuông tại H) 0,25đ Xét hai tam giác vuông ABH và BAK, có:
AB: Cạnh chung; zAx ABH· · ( 30 ) 0
ABH = BAK BH = AK
0,5đ
c)
Ta có: AMC vuông tại M có MK là trung tuyến ứng với cạnh huyền
KM = AC/2 (1)
Mà: AK = KC = AC/2 (2)
Từ (1) và (2) => KM = KC => KMC cân tại K (3)
0,5đ
Mặt khác: AMC có ·AMC90 ; yAz=300 · 0 MCK· 900 300 600 (4)
) Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC 3,0đ
Ta có: Bµ 2.Cµ B Cµ µ nên AC > AB => HC > HB 0,25đ Trên đoạn thẳng HC lấy điểm I sao cho IH = HB => AHI = AHB
Mặt khác: ·AIB ACB IAC· · IAC· ·ACB
Gọi K là giao điểm của DH với AC
Vì AD = HC, AB = IC nên BD = HI = HB => DBH cân tại B
2
1,0đ
Suy ra: KHC· ·ACB(·BHD)KAH· KHA· (phụ hai góc bằng nhau)
Suy ra: KA = KH = KC hay K là trung điểm của AC
Vậy đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC
0,75đ
Ghi chú: - Mọi cách giải khác nếu đúng, lý luận phù hợp đều ghi điểm tối đa.
- Điểm bài thi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.