Đề thi HSG Toán 9 và ĐA tr Trần Nguyên Hãn

PGD& ĐT huyện Long Điền Trường THCS Trần Nguyên Hãn ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học 2009 – 2010 Thời gian 150 phút. Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức K = 3 9 3 1 2 3 2 1 x x x x x x x x + − + − − + + − + − ( ) 0; 1x x≥ ≠ a/ Rút gọn K b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên Bài 2: (3 điểm)Cho A = 111…….111 ( 2m chữ số 1) B = 111…….111 (m + 1 chữ số 1) C = 666…….666 (m chữ số 6) Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương Bài 3: (4 điểm) a/ Cho abc = 1.Tính S = 1 1 1 1 1 1a ab b bc c ac + + + + + + + + b/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x + 7y = 167 Bài 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một đường thẳng d qua A cắt (O) tại M và (O’) tại M’. a/ Chứng tỏ rằng các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định và thẳng hàng với B b/ Chứng tỏ rằng trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’) Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn ( khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D, Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM. ĐÁP ÁN Bài 1(4 điểm) a/ K = 3 9 3 1 2 3 2 1 x x x x x x x x + − + − − + + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 2 2 2 1 x x x x x x x x + − − + − − − + + − (0,5điểm) = ( ) ( ) 3 2 2 1 x x x x + + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 x x x x + + + − = 1 1 x x + − (1,5điểm) b/ K = 1 1 x x + − = 1 + 2 1x − (0,5điểm) K nguyên khi 2 ( ) 1x −M 1x⇔ − ∈ Ư(2) = { } 1; 2± ± (0,75điểm) Giải ra x = 0; 4; 9 Vì x nguyên dương nên x = 4;9 (0,75điểm) Bài 2: (4 điểm) A = 111…….111 ( 2m chữ số 1) = 2 10 1 9 m − (0,5điểm) B = 111…….111 (m + 1 chữ số 1) = 1 10 1 9 m+ − (0,5điểm) C = 666…….666 (m chữ số 6) = ( ) 6 10 1 9 m − (0,5điểm) A + B + C + 8 = 2 10 1 9 m − + 1 10 1 9 m+ − + ( ) 6 10 1 9 m − + 8 = 2 10 16.10 64 9 m m + + = 2 10 8 3 m   +  ÷   (1điểm) Mà 10 m + 8 M 3 nên 10 m + 8 là số nguyên (0,25điểm) Vậy A + B + C + 8 là số chính phương (0,25điểm) Bài 3: (4 điểm) a/ Cho abc = 1. 1 ab c ⇒ = S = 1 1 1 1 1 1a ab b bc c ac + + + + + + + + = 1 1 1 1 1 1 abc b bc c ac a c + + + + + + + + (0,5điểm) = ( ) 1 1 1 1 1 c c ac b ac c c ac + + + + + + + + = ( ) 1 1 bc b b c ac + + + + = ( ) ( ) 1 1 1 b c ac b c ac + + = + + (1.5điểm) b/ phương trình 3x + 7y = 167 3x + 7y = 167 ⇔ x = 167 7 3 y− = 1 56 2 3 y y + − − (0,5điểm) đặt 1 3 y + = t ⇔ y = 3t – 1 Nên x = 58 – 7t (t ∈ Z) (0,5điểm) Vì x; y nguyên dương nên 3t – 1 > 0 ⇔ t > 1 3 và 58 – 7t > 0 ⇔ t < 58 7 (0,5điểm) Vì t ∈ Z n ên t ∈ { } 1;2;3;4;5;6;7;8 (0,25điểm) Các nghiệm nguyên dương của phương trình là : (51; 2), (44; 5), (37; 8), (30; 11), (23; 14), (16; 17), (9; 20), (2; 23) (0,25điểm) Bài 4 (5 điểm) hình vẽ (0,5điểm) a/ Chứng minh N, N’ cố định và N, B, N’ thẳng hàng Đường thẳng qua M vuông góc với d cắt (O) tại N . Vì ˆ NMA = 90 0 nên AN là đường kính của đường tròn (O) ⇒ N cố định (0,5điểm) Đường thẳng qua M’ vuông góc với d cắt (O’) tại N’ Vì ˆ ' 'N M A = 90 0 nên AN’ là đường kính của đường tròn (O’) ⇒ N’ cố định (0,5điểm) B thuộc đường tròn đường kính AN nên ˆ ABN = 90 0 (0,25điểm) B thuộc đường tròn đường kính AN’ nên ˆ 'ABN = 90 0 (0,25điểm) ⇒ ˆ 'NBN = ˆ ABN + ˆ 'ABN = 180 0 (0,25điểm) Vậy N, B, N’ thẳng hàng (0,25điểm) b/ Chứng minh trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’) OI đi qua trung điểm của NA và NN’ nên OI là đường trung bình của ∆ ANN’ ⇒ OI = O’A = R’ (0,5điểm) Gọi r là bán kính của đường tròn (I) vẽ (I; r) và (O; R) tiếp xúc trong, nên OI = R – r Mà OI = R’ (cmt) nên R’ = R – r ⇔ R’ + r = R (0,5điểm) Lại có IO’ đi qua trung điểm của N’N và AN’ nên OI là đường trung bình của ∆ ANN’ ⇒ O’I = OA = R (0,5điểm) mà R’ + r = R nên O’I = R’ + r ⇒ (I; r) tiếp xúc ngoài với (O’; R’) (0,5điểm) Vậy trung điểm I của NN’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) (0,5điểm) Bài 5 (4 điểm) hình vẽ (0,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM Ta có CA = CM; BD = BM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (0,25điểm) Mà CD = CM + MD nên CD = AC + BD (0,25điểm) Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) ta có MH ≤ MO = R (0,25điểm) Tứ giác ABDC là hình thang vuông nên CD ≥ AB = 2R (0,5điểm) Ta có S ABDC = ( ) 2 . . 2 2 2 2 AC BD AB CD AB AB AB R + = ≥ = (0,5điểm) S MAB = 2 . . 2 2 MH AB MO AB R≤ = (0,5điểm) Nên S ACM + S BDM = S ABDC - S MAB ≥ 2R 2 –R 2 ⇒ S ACM + S BDM ≥ R 2 (0,5điểm) Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ O (0,25điểm) ⇔ M là giao điểm của đường thẳng vuông gòc với AB vẽ từ O và nửa đường tròn (O)(0,25điểm) Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông gòc với AB vẽ từ O và nửa đường tròn (O) Thì S ACM + S BDM nhỏ nhất và bằng R 2 (0,25điểm) ( Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho tròn điểm) A B C D M H O x y O O' A M M' N N' I B Hình bài 5 hình bài 4 . Tr ờng THCS Tr n Nguyên Hãn ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học 20 09 – 2010 Thời gian 150 phút. Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức K = 3 9. của đường tr n tiếp xúc với (O) và (O’) Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tr n tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tr n ( khác A và B).