De thi HSG Toan 9 va DA tr NCTru

[r]

PHÒNG GD HUYỆN LONG ĐIỀN TỈNH BÀ RỊA -VT TRƯỜNG THCS NGUYỄN CÔNG TRƯ

ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN tháng 1/2010

Bài 1(4đ) Phân tích thành nhân tư a) M = x x3 x2 x

   

 với x 1

b) A = 2010 2010 2010 2010

Bài 2(4đ) Giải phương trình a) x2 26 x x

    

b) 4y2x  4y x  x22

Bài 3(4đ) Một giám đốc giao cho cô bán hàng lần lượt là: - Cô A: 50 sản phẩm

- Cô B: 30 sản phẩm - Cô C: 10 sản phẩm

Điền kiện phải bán với giá bằng và số tiền mỗi người đem về phải bằng Hỏi phải bán bằng cách nào?

Bài 4(4đ) Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c p là nưa chu vi của tam giác Chứng minh rằng ta có

p c p b p a p

p       

Bài 5(4đ) Cho nưa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R, M là một điểm di động đoạn AB, kẻ MC vuông góc AB( C thuộc nưa đường tròn (O)) Gọi D và E lần lượt là hình chiếc của M CA, CB Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AM và MB

a) Chứng minh CD.CA = CE.CB

b) Xác đinh vị trí của điểm M để diện tích tứ giác DEQP đạt giá trị lớn nhất

HẾT

ĐÁP ÁN

Bài 1(4đ)

a) M = x x3 x2 x    

 với x 1

) x x (

x   

 (0,25đ) ) 25 1 x x (

x     

  (0,5đ)                     25 1 x x (0,5đ)

 x 3 x 2

1

x    



 (0,5đ)

 x 3 x 2

1

x    



 (0,5đ)

3 x 1 x 2

1

x    

 (0,25đ)

b) A = 2010 2010 2010 2010 2010 2010

2010 2010

A2      (0,25đ)

0 2010 A A2     (0,25đ) 8041 A A2      (0,25đ) 8041 A 2                   (0,25đ) 8041 A 8041

A  

                   (0,25đ)            8041 A 8041 A (0,5đ)

Vì A> nên

2 8041

A  (0,25đ)

Bài 2(4đ) Giải phương trình a) x2 26 x x

   

 (1)

Ta nhận thấy x = là nghiệm của PT (1) (0,5đ) Với 0x1 thì:

8 1 26 x x 26

x

3          

Nên PT vô nghiệm với 0x1 (0,5đ)

Với x >1 Thì:

8 1 26 x x 26

x

3          

Nên PT vô nghiệm với x >1 (0,5đ)

Vậy PT (1) có nghiệm nhất x = (0,5đ) b) 4y2 x 4y x x2

     x y x x y

4 2

 2  2

2 x x 2 4y x

y

4     

 (0,5đ)

0 ) x )( y ( ) x ( ) y

( 2 2

  

   

 (0,5đ)

    

   

    

   

 

1 x

2 1 y 0x y4

01 x

01 y2

2

(1đ)

Bài 3(4đ)

Lần 1: Bán sản phẩm đồng (1đ)

- Cô A bán 49 sản phẩm thu được đồng

- Cô B bán 28 sản phẩm thu được đồng (1đ) - Cô C bán sản phẩm thu được đồng

Lần 2: Bán sản phẩm đồng (1đ)

- Cô A bán sản phẩm thu được đồng

- Cô B bán sản phẩm thu được đồng (1đ) - Cô C bán sản phẩm thu được đồng

Vậy sau hai lần bán mỗi người đều thu được 10 đồng Bài 4(4đ)

Ta có 2(x2 y2 z2) 2xy 2yz 2zx     

2

2

2 y z ) (x y z) x

(

3     

 (0,5đ)

Thay x p a;y p b;z p c ta có

2

) c p b p a p ( ) c b a p (

3         

 (0,5đ)

2

) c p b p a p ( p

3      

 (0,5đ)

p c p b p a

p     

 (0,5đ)

Ta lại có (x +y +z)2 > x2 +y2 +z2 mọi x, y, z >0 (0,5đ)

Nên ( p a p b p c)2 p a p b p c

         

 (0,5đ)

( p a p b p c)2 p      

 (0,5đ)

 p a p b p c  p (0,5đ)

Vậy p  p a  p b  p c  3p

Bài 5(4đ)

a) tam giác ABC vuông tại C, CM là đường cao ta có hệ thức CD.CA = CM2 (0,25đ)

CE.CB = CM2 (0,25đ)

Nên CD.CA = CE.CB (0,25đ)

b) Tứ giác DCEM có góc D = góc C = góc E =900

3

O B

A

C

M D

E

nên DCEM là hình chữ nhật (0,5đ) => S DEM =

2

S DCEM (0,5đ)

ADM có DP là trung tuyến => S DPM =

2

SADM (0,5đ)

Tương tự ta có S MED =

SMEB

Nên SDEM + SDPM + SMEQ =

( SDCEM + SADM + SMEB ) (0,5đ)

Hay S DEQP =

SABC

Mà S ABC =

CM.AB

2

OC.AB = R2 (0,5đ)

Dấu bằng xảy và chỉ M trùng O Vậy SDEQP đạt giá trị lớn nhất bằng

2 R2

M trùng O (0,5đ)

Long Hải, ngày 07 tháng 12 năm 2009 GV đề

Trần Xuân Đài – Lê Huy