Đề thi HSG Toán 9 và ĐA tr Phạm Hữu Chí

PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 HUYỆN LONG ĐIỀN Môn thi: Toán học lớp 9. ====*&*===== Thời gian : 150 phút Câu 1: Cho biểu thức: 4 4 4 1 2 1 1 x x x A x x + − − − = − − − + a) Rút gọn A. b) Tìm x ∈ ¢ để A∈ ¢ Câu 2: Cho đường thẳng d có phương trình: ( 2) ( 3) 8x m m y m+ + − = − a) Xác đònh m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1). b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố đònh. Câu 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hãy tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: . ( ) ( ) ( ) a b c S b c a a c b a b c = + + + − + − + − Câu 4: Cho ∆ ABC (AB = AC). Vẽ một đường tròn có tâm(O) nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D; E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE ( ;I D E≠ ). Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N . a) Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi. b) Chứng minh hệ thức 2 4. .BM CN BC= c) Xác đònh vò trí của điểm I trên cung nhỏ DE để ∆ AMN có diện tích lớn nhất. Câu 5: Cho ∆ ABC đều điểm M nằm trong ∆ ABC sao cho AM 2 = BM 2 + CM 2 . Tính số đo góc BMC ? -----------------------------*&*----------------------------- ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Đáp án Thang điểm 1 ( 2 đ) a) TXĐ : 4x ≥ 4 4 4 1 2 1 1 x x x A x x + − − − = − − − + 4 4 4 4 4 1 2 1 1 x x x x x − + − + − − = − − − + ( ) ( ) 2 2 4 2 4 1 1 x x x − + − − = − − Vì 4x ≥ 1 1 0x⇒ − − > nên 4 2 4 2 1 1 1 1 x x A x x − + − − = = − − − − b) Tìm x ∈ ¢ để A∈ ¢ Để A∈ ¢ khi x∈ ¢ thì 1 1x − − là ước dương của 2 ( vì 1 1 0x − − > ). *) 1 1 1 1 2 5x x x− − = ⇔ − = ⇔ = *) 1 1 2 1 3 10x x x− − = ⇔ − = ⇔ = 1 điểm 1 điểm 2 ( 2 đ) a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên ( 2).( 1) ( 3).1 8 5 8 3.m m m m m+ − + − = − ⇔ − = − ⇒ = b) Gọi ( ) 0 0 ;x y là tọa độ điểm cố đònh mà (d) đi qua Ta có: 0 0 ( 2) ( 3) 8m x m y m m+ + − = − ∀ . ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) 2 3 8 0 . 1 0 1 2 3 8 0 2 x y m x y m x y x x y y ⇔ + − + − + = ∀ + − = = −   ⇒ ⇔   − + = =   Vậy điểm cố đònh mà (d) đi qua là (-1;2) 1 điểm 1 điểm 3(1,5đ) Đặt 2 ( ; ; 0) 2 2 y x a x b c a x z y a c b b x y z z a b c x y c +  =  = + −   +   = + − → = >     = + −  +  =   Ta có 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 .2 .2 .2 3 2 2 2 y z z x x y x y x z y z S x y z y x z x z y     + + +   = + + = + + + + +  ÷  ÷  ÷       ≥ + + = Dấu “ =” xẩy ra khi x = y = z ⇔ a = b = c . Vậy S nhỏ nhất là 3 và xẩy ra khi a = b = c 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 4 (3.5đ) Hình vẽ đúng a) Chu vi ∆ AMN = AM + AN + MN = AM + AN +MI + IN = AM + AN + MD + NE = AD + AE = 2 AD không đổi. 0.5 điểm 1 điểm 1 điểm b) · · · · µ 0 1 90 2 2 A MON MOI ION DOE= + = = − mà µ µ µ · µ µ 0 90 2 A B C MON B C= = − → = = Mặt khác: · · BMO NMO= và · · CNO MNO= MON MBO⇒ ∆ ∆: và MON OCN∆ ∆: 2 2 . . 4 4 . MBO OCN BM OC BC MB CN OB OC OB CN BM CN BC ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = = ⇒ = : c) AMN ABC BMNC AMN S S S S= − ⇒ lớn nhất khi S BMNC nhỏ nhất . Ta có: ( ) 1 2 BMNC OBM OMN OCN S S S S R BM MN CN= + + = + + ( R: bán kính đường tròn) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 BM MI NI CN R BM MD NE CN R R BM BD CN CE R BM CN BD BD CE = + + + = + + + = − + − = + − = R; BD không đổi BMNC S⇒ nhỏ nhất khi BM + CN nhỏ nhất . Tích 2 . 4 BC BM CN = không đổi → Tổng BM + CN nhỏ nhất 2 BC BM CN⇔ = = Khi đó //MN BC ⇔ I là điểm chính giữa cung DE . 1 điểm 5(1đ) Vẽ tam giác đều CMN BCN ACM BN AM ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = mà 2 2 2 AM BM CM= + 2 2 2 BN BM MN⇔ = + BMN⇔ ∆ vuông tại M. · · · 0 0 0 90 60 150BMC BMN NMC⇒ = + = + = . 1điểm. . PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 20 09 – 2010 HUYỆN LONG ĐIỀN Môn thi: Toán học lớp 9. ====*&*===== Thời gian : 150. 4. .BM CN BC= c) Xác đònh vò tr của điểm I tr n cung nhỏ DE để ∆ AMN có diện tích lớn nhất. Câu 5: Cho ∆ ABC đều điểm M nằm trong ∆ ABC sao cho AM 2 = BM