De thi hsg toan 9 huyen Hoang Hoa

Giám thị không giải thích gì thêm PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ.. Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/10/2014 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) P x2  x x  x  x  1   x  x 1 x x1 Cho biểu thức: a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ P c Xét biểu thức: Bài 2: (4,5 điểm) Q x , P chứng tỏ < Q < 2014 2015  2014 và a Không dùng máy tính hãy so sánh : 2015 2014  2015 b Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 0  4 x4 c Giải phương trình: x  Bài 3: (4,0 điểm)  x 2  17  38  14  3x Tính giá trị biểu thức: B =   8x2  2 2015 a Với b Tìm tất các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > cho (3x+1)  y đồng thời (3y + 1)  x Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh rằng: S AEF cos A Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; S ABC S DEF   cos A  cos B  cos C  S ABC b Chứng minh : c Cho biết AH = k.HD Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + HA HB HC    d Chứng minh rằng: BC AC AB Bài 5: (1,5 điểm) Cho x, y là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  36 x  y Hết Họ tên thí sinh: Chữ kí giám thị:1: Số báo danh: Chữ kí giám thị 2: Giám thị không giải thích gì thêm PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MÔN : TOÁN Hướng dẫn chấm này có 03 trang Bài I Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh không vẽ hình vẽ hình sai thì không cho điểm II Yêu cầu cụ thể: Nội dung cần đạt Điểm 0,25 a.(2,0đ) Đk : x  0; x 1  P  x     2 x x x1 x x 1 x  x 1 x      x   x 1  x 1 Vậy P x   x 1  x1 x1  0,5 x 1 x  x  , với x  0; x 1 P x  1 3  x   x     2 4  b (1,0đ) dấu xảy x = ¼, thỏa mãn đk Vậy GTNN P là x x c (1,0đ).Với x  0; x 1 thì Q = x  x  > (1) 2  x  x  x 1 x   x1 0 2014 2015 2015  2014     2015 2014 2015 2014 1  2015  2014    2015  2014 2014 2015 2014 2015  2014 > 2014  2015 Vậy 2015 Phân tích thành (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - b 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 x 1 Xét Dấu không xảy vì điều kiện x 1 suy Q < 2.(2) Từ (1) và (2) suy < Q < 2 0,5 3) 0 (1) Vì (2x - y)2 0 ; (y – z + 1)2 0 ; ( z - 3)2 0 với x, y, z nên từ (1) suy x = 1; y = 2; z = c Đk: x > - 0,25 0,25 0,25 0,5 0,75 0,25 0,75 0,75 0,25 Khi đó phương trình đã cho tương đương với          x      0 x   4 x  11 x  11 x 3  x  0   0     2 2  x  3     x  4    x 3 x4 x 3  x4    4 0,5  0      x  3     x  4    x 3  x4    Vì x > - nên 11  Do đó 4x + 11 =  x = thỏa mãn điều kiện  11  S    4 Vậy tập nghiệm phương trình là: 3 x  5  2  (3  5) a Ta có Do đó B = -   5  3 2 0,25 0,25 0,25  1 1,25 0,75 b Dễ thấy x  y Không tính tổng quát, giả sử x > y Từ (3y + 1)  x  y   p.x 0,25  pN  * 0,25   1; 2 Vì x > y nên 3x > 3y + = p.x  p < Vậy p  Với p = 1:  x = 3y +  3x + = 9y +  y  4y 0,25  2; 4 Mà y > nên y   + Với y = thì x = + Với y = thì x = 13  Với p = 2:  2x = 3y +  6x = 9y +  2(3x + 1) = 9y + Vì 3x + y nên 9y + 5y suy 5y , mà y > nên y = 5, suy x = Tương tự với y > x ta các giá trị tương ứng Vậy các cặp (x; y) cần tìm là: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4); a 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A E F H B 0,25 C AE Tam giác ABE vuông E nên cosA = AB AF Tam giác ACF vuông F nên cosA = AC AE AF Suy AB = AC  AEF ABC (c.g.c) 0,25 0,25 S AEF  AE    cos A * Từ AEF ABC suy S ABC  AB  S S BDF cos B, CDE cos C S ABC b Tương tự câu a, S ABC Từ đó suy S DEF S ABC  S AEF  S BDF  SCDE  1  cos A  cos B  cos C S ABC S ABC Suy S DEF   cos A  cos B  cos C  S ABC AD AD AD c Ta có: tanB = BD ,tanC = CD Suy tanB.tanC = BD.CD  AD  AH  HD  k  1 HD AD  k  1 HD Vì AH = k.HD (1) nên HD  k  1 Do đó tanB.tanC = BD.CD (2) Từ (1), (2), (3) suy ra: tanB.tanC = d Từ 2 HD  k  1 HD  k  1 HD  k  1   k  AD.HD AD HD  k  1 AFC HEC  HC CE HC.HB CE.HB S HBC     AC CF AC AB CF AB S ABC HB.HA S HAB HA.HC S HAC   AC BC S AB BC S ABC Do đó: ABC Tương tự: ; HC.HB HB.HA HA.HC S HBC  S HCA  S HAB 1 S ABC AC AB + AC.BC + AB.BC =  Ta chứng minh được: (x + y + z)2  3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta có:  HA HB HC   HA.HB HB.HC HC.HA        3   3.1 3  BC AC AB   BC.BA CA.CB AB AC  HA HB HC    Suy BC AC AB 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 DB HD   DB.DC HD AD Lại có DHB DCA( g.g ) nên AD DC (3) 0,75 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 * Với x, y  N thì 36x có chữ số tận cùng là 6, 5y có chữ số tận cùng 0,25 là nên : 0,25 A có chữ số tận cùng là ( 36x > 5y) ( 36x < 5y) TH1: A = đó 36x - 5y =1  36x - = 5y Điều này không xảy vì (36x – 1)  35 nên (36x – 1)  7, còn 5y không chia hết 0,25 cho TH2: A = Khi đó 5y - 36x =  5y = + 36x điều này không 0,25 xảy vì (9 + 36x) 9 còn còn 5y không chia hết cho 0,25 TH3: A = 11 Khi đó 36x - 5y =11 Thấy x = 1, y = thỏa mãn 0,25 Vậy GTNN A 11, x = 1, y = Hết Người làm đáp án: Người thẩm định: Người duyệt: