Đang tải... (xem toàn văn)
Xác định điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho tam giác CEF có diện tích lớn nhất, trong đó CH là đường cao của tam giác ABC, CE và CF là các đường phân giác của các tam giác CHA và CHB.. [r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM NÔNG ĐỀ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: (3,0 điểm) a) Chứng minh số: 44 488 2015 2014 là số chính phương 2 b) Với a, b là các số nguyên Chứng minh 4a + 3ab 11b chia hết 4 cho thì a b chia hết cho Câu 2: (4,0 điểm) x+2 x P = + x x x + x + Cho biểu thức : x - x -1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm trị x để P là số nguyên Câu 3: (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình sau: x + x + 3x + + 2x = x + + 2x + 2x 2014 + b 2014 + c 2014 = và a 2015 + b 2015 + c 2015 = b) Cho a 2013 2014 2015 Tính giá trị tổng: a + b + c Câu 4: (4,5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài A Gọi BC, DE là các tiếp tuyến chung hai đường tròn (B, D thuộc đường tròn tâm O; C, E thuộc đường tròn tâm O’) a) Chứng minh rằng: BDEC là hình thang cân b) Tính diện tích hình thang BDEC theo bán kính R và r Câu 5: (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Xác định điểm C thuộc nửa đường tròn cho tam giác CEF có diện tích lớn nhất, đó CH là đường cao tam giác ABC, CE và CF là các đường phân giác các tam giác CHA và CHB Câu 6: (2,0 điểm) 1 2 + a + b + c Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: Tìm giá trị lớn tích P = abc Hết Họ và tên thí sinh: SBD (2) *Lưu ý: Cán coi thi không phải giải thích gì thêm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM NÔNG HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 Câu Câu 1: (3,0 điểm) Hướng dẫn chấm a) Chứng minh số: 44 488 2015 2014 Điểm là số chính phương 2 b) Với a, b là các số nguyên Chứng minh 4a + 3ab 11b chia hết cho thì a b chia hết cho 11 1a (1,5đ) Đặt 2015 = a thì 102015 = 9a + 44 488 44 488 2015 2014 = 2015 2015 + = 4a 102015 + 8a + = 36.a2 +12.a + KL và số chính phương: Chỉ ra: (66 67) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2014 4a 3ab 11b 5 5a 5ab 10b 4a 3ab 11b 5 0,75đ 1b (1,5đ) (a + b) 5 Chỉ ra: (a + b) 5 ( Vì là số nguyên tố) Chỉ và KL: 0,25đ a b a b a b a b 5 0,5đ Câu 2: (4,0 điểm) x+2 x P = + x x x + x + Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm trị x để P là số nguyên Điều kiện: x 0, x 1 2a (2,0đ) 2b (2,0đ) : x - x -1 0,5đ x + + x ( x - 1) - (x + x + 1) P= ( x 1)(x + x + 1) Chỉ ra: ( x - 1) 2 P= = ( x - 1) (x + x + 1) (x + x + 1) Chỉ ra: x -1 0,5đ 1,0đ Vì x 0 nên x + x + hay P Mặt khác: P > nên < P Để P là số nguyên thì P {1; 2} 0,75đ Chỉ với P = x + x + = x = Chỉ với P = x + x + = 4x + x 2 +1=5 x 5 0,5đ 0,5đ (3) Chỉ ra: x 3 3 KL với x {0; Câu 3: (4,0 điểm) 0,25đ } thì P là số nguyên x + x + 3x + + 2x = a) Giải phương trình sau: x2 + + 2x + 2x (1) 2014 + b 2014 + c 2014 = (1.1) và a 2015 + b 2015 + c 2015 = (1.2) b) Cho a 2013 + b 2014 + c 2015 Tính giá trị tổng: a ĐK: x ≥ (x + 3)(x + 1) + 2x = (1) x+1 3a (2,0đ) x + - 2x - x+1-1 Chỉ với: 0,25đ x + + 2x(x + 1) x + - 2x = 0,5đ x + - 2x = 0,75đ x + - = x = (TMĐK) 2 Chỉ với: x + - 2x = x + = 2x (x - 1) + = (Vô nghiệm) KL: Phương trình có nghiệm x = a 1, b 1, c 1, suy a 2015 a 2014 , b 2015 b 2014 ,c 2015 c 2014 Từ (1.1) có 2015 b 2015 c2015 a 2014 b 2014 c 2014 (3) Chỉ ra: a 3b (2,0đ) 2015 2014 2015 2014 2015 2014 a , b b ,c c Chỉ tõ (1.1), (1.2), (1.3) cã a a 2015 a 2014 a 2014 a 1 0 a 1, a 0 Chỉ ra: , đó a2013 = a2014 Tương tự có b2014 = b2014, c2015 = c2015 2013 2014 2015 a 2014 b2014 c2014 1 Chỉ và kết luận: a b c 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,75đ Câu 4: (4,5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài A Gọi BC, DE là các tiếp tuyến chung hai đường tròn (B, D thuộc đường tròn tâm O; C, E thuộc đường tròn tâm O’) a) Chứng minh rằng: BDEC là hình thang cân b) Tính diện tích hình thang BDEC theo bán kính R và r Vẽ đúng hình B M C K Vẽ hình (0,5đ) H 0,5đ O' A O E N D (4) Chỉ ra: BD OO’; CE OO’ (Theo tính đối xứng) BD // CE BDEC là hình thang 4a CBD = EDB (1,75đ) Chỉ ra: KL: BDEC là hình thang cân Kẻ tiếp tuyến chung A cắt BC, DE M, N Chỉ ra: ΔOMO’ vuông M nên MA2 = OA.O’A = R.r 0,75đ 0,75đ 0,25đ 0,75đ Từ đó ra: MN = 2AM = BC = Rr Kẻ đường cao CH hình thang BDEC, CH cắt OB K Chỉ ra: KC = OO’ Chỉ ΔBKC vuông B có: HC = 4Rr R+r BC2 = KC.HC 4Rr = (R + r).HC 4b (CE + BD).CH (2,25đ) SBDEC = Chỉ và KL: = MN.CH SBDEC 8Rr Rr = R + r (ĐVDT) 1,0đ 0,5đ Câu 5: (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Xác định điểm C thuộc nửa đường tròn cho tam giác CEF có diện tích lớn nhất, đó CH là đường cao tam giác ABC, CE và CF là các đường phân giác các tam giác CHA và CHB Hình vẽ C 0,25đ A (2,5đ) E H O F B 0 Chỉ ra: ACF = 90 - BCF, AFC = 90 - HCF ACF = AFC AF = AC Tương tự: BE = BC Chỉ ra: AC + BC = AF + BE = AB + EF 0,5đ Đặt AC = x, BC = y có EF = x + y – 2R Áp dụng BĐT Cosi: x2 + y2 2xy (x + y)2 2(x2 + y2) = 8R2 0,5đ Chỉ ra: x + y 2 R nên x + y – 2R (2 - 2)R hay EF 2( - 1)R Chỉ ra: CH R nên SCEF = EF.CH ( - 1)R2 Chỉ ra: Max SCEF = ( - 1)R2 x = y CO AB KL: với CO AB thì 0,5đ 0,75đ 1 2 Câu 6: (2,0 điểm): Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: + a + b + c Tìm giá trị lớn tích P = abc (2,0đ) 1 b c bc (1 ) (1 ) 2 1 b 1 c 1 b 1 c (1 b)(1 c) Chỉ ra: a 0,75đ (5) ca ab 2 2 (1 c)(1 a ) ; c (1 a)(1 b) Tương tự: b 1 bc ca ab 2 2 (1 b)(1 c ) (1 c)(1 a ) (1 a )(1 b) Chỉ ra: a b c 8abc abc 0,5đ 1 ; Vậy Max P = a = b = c = 0,75đ Chỉ và KL: Lưu ý: Học sinh có nhiều cách giải khác nhau, đúng giám khảo cho điểm tương ứng phần đó 1 2 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a b c Tìm giá trị nhỏ tích P = abc HD: 1 b c bc (1 ) (1 ) 2 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c (1 b)(1 c) ca ab 2 2 (1 c)(1 a ) ; c (1 a )(1 b) Tương tự: b 1 bc ca ab 2 2 1 a 1 b 1 c (1 b)(1 c) (1 c)(1 a ) (1 a)(1 b) 1 8abc a b c (1 a )(1 b)(1 c) 8abc abc 1 Max P = a = b = c = Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = a+1 b+1 c+1 + + 3 2 1+c + a2 Chứng minh rằng: + b 2 Với a, b là các số nguyên Chứng minh 4a + 3ab 11b chia hết cho thì a b chia hết cho 4a 3ab 11b 5 5a 5ab 10b 4a 3ab 11b 5 a 2ab b 5 a b 5 a b5 ( Vì là số nguyên tố) a b a b a b a b 5 (6) 2015 2016 Chứng minh số: + + + + + + + chia hết cho 400 (7)