Đang tải... (xem toàn văn)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.[r]
(1)UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự – Hạnh phúc
_ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2009-2010
Mơn thi : Tóan
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 10/01/2010
Câu (3 điểm)
a) So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính gần đúng)
b) Chứng minh : n3 – n + không chia hết cho với số tự nhiên n.
Câu (4 điểm)
Rút gọn biểu thức sau :
M =
Câu (5 điểm)
Giải hệ phương trình :
Câu (5 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC BD vuông góc với O, chứng minh : AB2 + CD2 = AD2 + BC2
Câu (3 điểm)
Cho hình vng ABCD có cạnh a Lấy điểm M tuỳ ý đường chéo
AC, kẻ ME AB, MF BC Xác định vị trí M đường chéo AC để diện
tích DEF nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
(2)Hết UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự – Hạnh phúc
_ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2009-2010
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TĨAN
Câu Đề Đáp án Điểm Ghi
chú Câu
(3 điểm)
a) Giả sử >
>
0.5
0 >
>
0.5
20102.2009 > 20092.2010 (đúng) 0.5
b) n3 – n + không chia hết cho với số tự nhiên n
Để chứng minh n3 – n + không chia hết cho 6 với số tự nhiên n ta chứng minh :
(n3 – n) , n N
0.5
Thật
n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1)
Là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cho (trong ba số nguyên liên tiếp ln có số chẵn số chia hết cho 3)
0.5
Do (2,3) = nên (n3 – n) (2.3) hay (n3 – n)
0.5 Câu
(4 điểm)
Rút gọn biểu thức sau : M =
Đặt x = 2008,
M = =
1
=
1
x+1 = 2009
Câu
(5 điểm) Giải hệ phương trình : Điều kiện x, y ≠
(3)
1 Hệ vơ nghiệm có nghiệm
(x, y)
1
(x – y)2 = (x+y)2 – 4xy = –3 < ; vô lý
1
Câu (5 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC BD vng góc với O, chứng minh :
AB2 + CD2 = AD2 + BC2
Vận dụng định lý Pithagore vào tam giác vuông OAB OCD, ta có :
AB2 = OA2 + OB2
1 CD2 = OC2 + OD2 1 AB2 + CD2 = (OA2 + OB2)+(OC2 + OD2) =
(OA2+ OD2) +(OB2+ OC2) Nhưng ta lại có :
OA2+ OD2=AD2 (OAD vuông O) OB2+ OC2= BC2 (OBC vng O)
1 Do ta có: AB2 + CD2 = AD2 + BC2 1 Vậy AB2 + CD2 = AD2 + BC2
Câu (3 điểm)
Cho hình vng ABCD có cạnh a Lấy điểm M tuỳ ý đường chéo AC, kẻ ME
AB, MF BC Xác
định vị trí M đường chéo AC để diện tích DEF nhỏ nhất, tìm
giá trị Dễ thấy S(DEM) = S(AME), S(DMF) = S(CMF) 0.5 S(DEF) = S(DEM) + S(DMF) + S(EMF) 0.5 = S(ABC) – S(BEF) = (a2 – BE.BF)
0.5 S(DEF) đạt giá trị nhỏ BE.BF
lớn 0.5
Do BE + BF = a nên BE.BF lớn BE = BF =
0.5
M trung điểm AC
S(DEF) = (a2 - ) = a2
0.5
Nếu học sinh có lời giải khác mà xác tính điểm tối đa
(4)