PHÒNG GD ĐT HÀ TRUNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi này gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO Môn Toán 7 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (4,0 điểm) Thực hiện phép tính a 7 10 7 9 2 35 19 19 35 35 A [.]
PHỊNG GD -ĐT HÀ TRUNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,0 điểm) Thực phép tính: 10 A 35 19 19 35 35 a 5.415.99 4.320.89 5.210.619 7.229.276 b C 1 1 1 1.3 2.4 3.5 4.6 98.100 c B 10 5 3 0,9 11 23 13 D 26 13 13 403 0, 11 23 91 10 d Bài 2: (3,5 điểm) x 2 x 1 x a Tìm x : 4.3 6 155 3x y z 5x y 3z b Tìm x, y , z biết: x y z 50 Bài 3: (3,0 điểm) a Cho đa thức f x x8 99 x 99 x 99 x 99 x 25 Tính f 100 ; ; b Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng bình phương số 24309 Tìm số A Bài 4: (3,0 điểm) a Tìm x, y Z biết xy x y 5 b Cho Bài 5: (5,5 điểm) A 1 1 2 20202 Chứng minh A Cho tam giác ABC có AB AC Gọi M trung điểm BC , từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A , cắt tia N , cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a AE AF b BE CF c AE AB AC Cho A nằm xOy nhọn Tìm điểm B, C thuộc Ox, Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Bài 6: (1,0 điểm) Tìm số x, y, z nguyên dương thỏa mãn: x y z xyz = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang) Trang HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO Mơn: Tốn Bài 1: (4,0 điểm) Thực phép tính: 10 A 35 19 19 35 35 a 5.415.99 4.320.89 B 10 19 5.2 7.229.276 b C 1 1 1 1.3 2.4 3.5 4.6 98.100 c 10 5 3 0,9 11 23 13 D 26 13 13 403 0, 11 23 91 10 d Lời giải 10 10 A 35 19 19 35 35 35 19 19 35 35 35 35 a 155 15 b 22 32 22.320 23 5.415.99 4.320.89 B 10 19 19 5.2 7.229.276 5.210 2.3 7.229 33 229.318 5.2 32 5.230.318 229.320 29 19 5.2 7.229.318 29.318 5.3 C 1 1 1 1.3 2.4 3.5 4.6 98.100 c 1.3 2.4 3.5 4.6 1 98.100 1 2.2 3.3 4.4 5.5 99.99 2.99 99 1.3 2.4 3.5 4.6 98.100 1.3 2.4 3.5 4.6 98.100 1.100 50 1 1 10 5 3 31 0,3 155 0,9 11 23 13 11 23 13 D 26 13 13 1 1 403 0, 0,3 13 31 11 23 91 10 13 11 23 d 44 3 13 13 Bài 2: (3,5 điểm) x 2 x 1 x a Tìm x : 4.3 6 3x y z x y 3z x , y , z b Tìm biết: x y z 50 Lời giải a Tìm x : x 2 4.3 x 1 3 x 3x 6 3 4.3 66 3x.33 4.3x.32 3x 3.66 x x 27.3x 36.3x 3x 3 2.3 64.3 x 64.37 3x 37 x 7 Trang Vậy x 7 3x y z 5x y 3z b Tìm x, y , z biết: x y z 50 x y z x y 3z 15 x 10 y z 15 x 10 y z 25 Ta có Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x y 3z 15 x 10 y z 15 x 10 y z 15 x 10 y z 15 x 10 y z 0 25 25 3x y 2 z x 5 y z 0 x y y z x y z x y z 50 ; 3 5 10 x x 5.2 10 Vì y y 5.3 15 Vì z z 5.5 25 Vì Vậy x 10; y 15; z 25 Bài 3: (3,0 điểm) a Cho đa thức f x x8 99 x 99 x 99 x 99 x 25 Tính f 100 ; ; b Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng bình phương số 24309 Tìm số A Lời giải f x x8 99 x 99 x 99 x5 99 x 25 a Ta có f 100 1008 99.1007 99.1006 99.1005 99.100 25 100 100 1 100 100 1 100 100 1 100 100 1 100 25 1008 1008 1007 1007 100 1006 1005 1002 100 25 125 Vậy f 100 125 b Gọi ba số chia từ số A a, b, c , số A chia thành số tỉ lệ theo ; ; nên ta có: a b c a b c a b c a2 b2 c2 3 24 45 10 242 452 102 60 60 60 6 2 Vì tổng bình phương số 24309 nên ta có a b c 24309 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a2 b2 c2 a b2 c 24309 9 32 2 2 2 24 45 10 24 45 10 2701 a2 32 a 722 a 72 Vì 24 Trang b2 32 b 1352 b 135 45 Vì c2 32 c 302 c 30 Vì 10 Vì a, b, c dấu nên a 72; b 135; c 30 a 72; b 135; c 30 Vậy A 237 A 237 Bài 4: (3,0 điểm) a Tìm x, y Z biết xy x y 5 1 1 A 20202 Chứng minh A b Cho Lời giải a Với x, y Z , ta có: xy x y 5 x y y 3 y x 1 3 y 3 x 1 y 1 x 3 y x y x y 1 x 2 y x 4 y x 0 y x 2;1 ; 4; 1 ; 0; 5 ; 2; 3 x; y là: Vậy ta có cặp 1 1 A 20202 Chứng minh A b Cho 1 1 1 1 A 2 2020 1.2 2.3 3.4 2019.2020 Ta có 1 1 1 1 1 1 2 3 2019 2020 2020 Vậy A Bài 5: (5,5 điểm) Cho tam giác ABC có AB AC Gọi M trung điểm BC , từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A , cắt tia N , cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a AE AF b BE CF c AE AB AC Cho A nằm xOy nhọn Tìm điểm B, C thuộc Ox, Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Lời giải Trang A F B C M N D E a AE AF Xét ANE ANF có: ANE ANF 90 AN ; cạnh chung; NAE NAF (GT, AN phân giác) ANE ANF g c.g AE AF (hai cạnh tương ứng) b BE CF Kẻ BD //AC ; D EF , ta có BDE AFN (đồng vị) mà AFN BED (hai góc tương ứng ANE ANF ) BDE BED AFN BDE cân B BE BD Mặt khác xét MBD MCF có : MB MC GT BMD CMF ; (đối đỉnh) ; MBD MCF (so le trong) MBD MCF g c.g BD CF BE CF BD AB AC AE c Theo chứng minh trên, ta có AE AF ; BE CF ; AB AC AE BE AF CF AE AF BE CF 2 AE AE AB AC Cho A nằm xOy nhọn Tìm điểm B, C thuộc Ox, Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ y D B A O C x E Gọi D E điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng Oy Ox Trang Ta có BD BA CE CA ( BDA; CAE tam giác cân) Gọi P chu vi tam giác ABC thì: P AB AC BC BD CE BC DE Dấu xảy bốn điểm D, B, C , E thẳng hàng Suy để chu vi tam giác ABC bé phải lấy B C giao điểm đoạn thẳng DE với hai tia Oy Ox (các giao điểm tồn góc xOy nhọn) Bài 6: (1,0 điểm) Tìm số x, y, z nguyên dương thỏa mãn: x y z xyz Lời giải Khơng tính tổng quát, ta giả sử x y z x y z z z z 3z xyz 3 z xy 3 xy 1; 2;3 Nếu xy 1 x y 1 z 2 z (vô lý, loại) Nếu xy 2 x 1; y 2 (vì x y ) z 3 z z 3 (thỏa mãn) Nếu xy 3 x 1; y 3 (vì x y ) z 4 z z 2 (loại x y z ) Vậy x 1; y 2; z 3 x; y; z là: Do vai trò x, y, z nên ta có cặp 1; 2;3 , 1;3; , 2;1;3 , 2;3;1 , 3; 2;1 , 3;1; = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang