PHÒNG GD ĐT THÁI THỤY ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi này gồm 01 trang) ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Môn Toán 7 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (4 điểm) a Thực hiện phép tính 016 6 2021 25 5 Q b So sánh 1[.]
PHỊNG GD -ĐT THÁI THỤY ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4 điểm) Q a Thực phép tính: 16 6 20210 25 b So sánh 144 37 26 2020 x 2020 x c Tìm x biết Bài 2: (4,5 điểm) 3 4 A : : 11 11 11 11 a Thực phép tính: 22 32 42 202 B 1.3 2.4 3.5 19.21 b Tính giá trị biểu thức: 10 c Cho đa thức f ( x ) x 101x 101x 101x 101x 2021 Tính f (100) Bài 3: (2,25 điểm) A 1 3 3 3 3 4 4 4 4 2019 Cho a Tính A b Chứng minh A không số nguyên Bài 4: (3,0 điểm) 3 4 2020 x x 270 a Tìm x biết: x y y z 3z x b Cho số x, y , z khác thỏa mãn 12 x y z B x 3y 2z Tính giá trị biểu thức Bài 5: (5,0 điểm) BC , tia đối Cho tam giác cân ABC , AB AC Trên cạnh BC lấy điểm D cho CB lấy điểm E cho BD CE Đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D cắt cạnh AB M , đường thẳng vng góc với BC E cắt AC N ; MN cắt BC I BD a Chứng minh: DM EN b Chứng minh: I trung điểm MN BC MN c Chứng minh: Đường thẳng vng góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi BC Bài 6: (1,25 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x x x x 2019 x 2020 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang) Trang HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Bài 1: (4 điểm) Q a Thực phép tính: 16 6 20210 25 b So sánh 144 37 26 2020 x 2020 x c Tìm x biết Lời giải Q a 16 6 20210 25 Q 1 5 6 Q 1 5 1 3 b Ta có 37 36 6 26 25 5 37 26 36 25 6 12 144 12 Vậy 144 37 26 c 2020 x 2020 x x 2020 2020 x (1) Xét x 2020 (1) x 2020 2020 x * x 4040 x 2020 *Xét x 2020 (1) 2020 x 2020 x với x Vậy x 2020 2020 x 2020 x x 2020 2020 x Cách khác: x 2020 0 x 2020 Bài 2: (4,5 điểm) 3 4 A : : 11 11 11 11 a Thực phép tính: 22 32 42 202 B 1.3 2.4 3.5 19.21 b Tính giá trị biểu thức: 10 c Cho đa thức f ( x ) x 101x 101x 101x 101x 2021 Tính f (100) Lời giải Trang a 3 4 A : : 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 7 11 11 11 11 11 11 1 0 Vậy A 0 22 32 42 202 B 1.3 2.4 3.5 19.21 b Ta có 2.2 3.3 4.4 20.20 1.3 2.4 3.5 19.21 (2.3.4 20).(2.3.4 20) (1.2.3 19)(3.4.5 21) 20.2 40 21 21 ` 40 21 Vậy c Từ x 100 101 x B f 100 x10 x 1 x x 1 x8 x 1 x ( x 1) x 2021 x10 x10 x9 x9 x8 x8 x x x 2021 x 2021 100 2021 1921 f 100 1921 Vậy Bài 3: (2,25 điểm) 3 3 3 3 A 1 4 4 4 4 Cho a Tính A b Chứng minh A không số nguyên Lời giải 3 A a 4 3 3 3 3 4 4 4 4 3 A A 4 2020 2019 3 4 3 4 2020 2021 2021 1 Trang 2021 2021 3 3 1 4 A 1 4 3 b Ta có Nên 3 4 2021 2021 1 2021 1 2021 7 3 1 1 1 1 4 4 Suy A , mà A (do tử mẫu dương) Nên A Vậy A số nguyên Bài 4: (3,0 điểm) x x 2 270 a Tìm x biết: b Cho số x, y , z khác thỏa mãn 12 x y z B x 3y 2z Tính giá trị biểu thức x y y z 3z x Lời giải x x 2 270 a Ta có 3x (1 32 ) 270 3x.10 270 3x 27 33 x 3 x 3 Vậy x y y z 3z x 25 b 10 x 15 y 15 y z z 10 x 0 25 x y 3 2 x 3 y y 2 z y z 2 x y z m x 3m; y 2m; z 5m 12 x y z 12.3m 5.2m 3.5m 31m 31 B x 3y 2z 3m 3.2m 2.5m 7m 31 B Vậy Bài 5: (5,0 điểm) Trang BC , tia đối Cho tam giác cân ABC , AB AC Trên cạnh BC lấy điểm D cho CB lấy điểm E cho BD CE Đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D cắt cạnh AB BD M , đường thẳng vng góc với BC E cắt AC N ; MN cắt BC I a Chứng minh: DM EN b Chứng minh: I trung điểm MN BC MN c Chứng minh: Đường thẳng vng góc với MN I ln ln qua điểm cố định D thay đổi BC Lời giải a) Chứng minh: MDB NEC Ta có ABC ACB (gt) mà ACB ECN (đđ) Nên ABC ECN hay DBM ECN Xét MDB NEC có: DBM ECN (cmt) BD CE (gt) E 900 D (gt) Suy MDB NEC (g-c-g) DM EN (cạnh tương ứng) MB NC (cạnh tương ứng) b) Ta có MDI vng D nên DMI MID 90 (tổng hai góc nhọn tam giác vuông) NEI vuông E nên ENI NIE 900 (tổng hai góc nhọn tam giác vuông) Mà MID NIE (đđ) nên DMI ENI Xét MDI NEI có DMI ENI (cmt) DM EN (cm câu a) E 900 D (gt) Suy MDI = NEI (g-c-g) IM IN (cạnh tương ứng) Vậy I trung điểm MN Xét MDI vng D có DI MI NEI vng E có EI NI DI EI MI NI DI IC CE MN DI IC BD MN BD CE Vì BC MN c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC Xét AHB AHC có Trang AB AC ( gt ) H 900 H HB HB (vì ABC cân A) Nên AHB = AHC (cạnh huyền- cạnh góc vng) HAB HAC (góc tương ứng) Gọi O giao điểm AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I Xét OAB OAC có AB AC ( gt ) OAB OAC (vì ABC cân A) OA cạnh chung Nên OAB = OAC (c-g-c) OBA OCA (góc tương ứng) (1) OB OC (cạnh tương ứng) Xét OIM OIN có IM IN ( I trung điểm MN ) I I 900 OI cạnh chung Nên OIM = OIN (c-g-c) OM ON (cạnh tương ứng) Xét OMB OCN có OM ON (cmt ) OB OC (cmt ) MB NC (cm câu a) Nên OMB = OCN (c-c-c) OBM OCN (góc tương ứng) (2) Từ (1);(2) suy OAC OCN 90 OC AC O điểm cố định Vậy đường thẳng vuông góc với MN I ln qua điểm cố định O thay đổi cạnh BC Bài 6: (1,25 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x x x x 2019 x 2020 Lời giải A x 2020 x x 2019 x ( x 1010 1011 x ) B x a b x b a 0 Xét biểu thức M M Ta có dấu xảy M 0 x a x a Áp dụng ta có dấu xảy x a 0 x a b x b x Tương tự ta có dấu xảy b x 0 x b Trang B x a b x x a b x b a m dấu xảy a x b Áp dụng ta lại có x 2020 x x 2020 x 2019 Dấu xảy x 2020 x 2019 x x 2019 x 2017 Dấu xảy x 2019 ……………………………………………………………………………………… x 1010 1011 x x 1010 2011 x 1 Dấu xảy 1010 x 1011 A x 2020 x x 2019 x ( x 1010 1011 x ) 1 2017 2019 10102 Dấu xảy 1 x 2019 x 2017 1010 x 1011 1010 x 1011 Vậy giá trị nhỏ A 1010 dấu xảy 1010 x 1011 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang