PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4,5 điểm) 1) Thực hiện phép tính a) 7 24 A 1 1 9 25 b) 12 7 6 3[.]
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HỤN MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút) Bài (4,5 điểm) 1) Thực phép tính: 24 a) A 25 b) B 312 57 96.253 275.253 32.5 2) Cho n số tự nhiên có chữ số Tìm n biết n + 2n số phương Bài (4,0 điểm) a) 2024x 1011x 1012x b) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 40 3x với x số nguyên khác 13 13 x Bài (4,5 điểm) 1) Cho hàm số y = f(x) = (m +1)x với m a) Với m = Hãy tính f (2022) b) Tìm giá trị m để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) với x1, x2 số thực khác 2) Tìm phân số có tổng , biết tử số tỉ lệ theo 3:4:5 mẫu số tương 70 ứng tỉ lệ theo 5:1:2 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có ba góc nhọn Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân B Kẻ đường cao AH (H thuộc BC), tia đối tia AH lấy điểm I cho AI = BC 1) Chứng minh: Hai tam giác ABI BEC 2) Chứng minh: BI vng góc với CE 3) Phân giác góc ABC cắt cạnh AC D, phân giác góc BDC cắt cạnh BC M Phân giác góc BDA cắt đường thẳng BC N Chứng minh: BD = MN Bài (1,0 điểm) Cho 2022 số a1, a2, a3, ……., a2021, a2022 số tự nhiên khác thỏa mãn: 1 1 1 Chứng minh rằng: Tồn số 2022 a1 a a a 2021 a 2022 số cho số chẵn ……Hết…… Họ tên thí sinh :………………………………….Số báo danh :………… HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN BÀI Ý BIỂU ĐIỂM NỘI DUNG 1) Thực phép tính : 24 a) A 25 b) B 312 57 96.253 275.253 32.5 24 16 1 25 25 A 1a(1,5đ) 20 23 A 5 15 23 Vậy A 15 12 96.253 1(4,5đ) 312 57 312.56 B = 275.253 32.5 315.56 312.56 A 1 1b(1,5đ) B 312.56 1 312.56 33 1 3 Vậy B 28 14 14 2) Cho n số tự nhiên có chữ số Tìm n biết n + 2n số phương Vì n số tự nhiên có hai chữ số => < n < 100 18 2n 200 Mà 2n số phương chẵn 2n 36;64;100;144;196 B 2(1,5đ) 2(4,0đ) n 18;32;50;72;98 Mà n + số phương => n = 32 Vậy n = 32 a) 2024x 1011x 1012x 1011x 1012x 2024x 2a(2,0đ) Do 1011 x 0x, 1012 x 0x x 0 = > 1011x+ + 1012x + = 2024x = > 2023x +5 = 2024x = > x = Vậy x = 2b(2,0đ) 40 3x b) Tìm giá trị lớn biểu thức P = với x số 13 x nguyên khác 13 40 3x Ta có P = = 3 với x 0 13 x 13 x 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 BÀI Ý NỘI DUNG lớn 13 x 0 * Nếu x > 13 13 x 13 x Suy P lớn 0 * Nếu x < 13 13 x 13 x Từ trường hợp suy lớn 13-x > 13 x Vì phân số có tử mẫu số nguyên dương, tử 13 x không đổi nên phân số có giá trị lớn mẫu số nguyên dương nhỏ BIỂU ĐIỂM 0,25 0,5 0,25 0,5 Hay 13 x 1 x 12 Suy P có giá trị lớn x =12 3(4,5đ) 0,25 1) Cho hàm số y = f(x) = (m +1)x với m a) Với m = Hãy tính f (2022) b) Tìm giá trị m để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) với x1,x2 số thực khác Với m = thỏa mãn m => f(x) = 3x 1a(1,5đ) Ta có f(2022) = 3.2022 = 6066 Vậy với m = f(2022) = 6066 Ta có f(x1) = (m + 1)x1 , f(x2) = (m + 1)x2 = > f(x1).f(x2) = (m + 1)2x1.x2 Mà f(x1x2) = (m + 1) x1x2 1b(1,5đ) Để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) => (m + 1) x1x2 = (m + 1) x1x2 Do x1,x2 số thực khác , m = > m + = => m = ( tm m ) Vậy để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) m = 2(1,5đ) 2) Tìm phân số có tổng , biết tử số tỉ lệ theo 70 3:4:5 mẫu số tương ứng tỉ lệ theo 5:1:2 a b c Gọi phân số cần tìm x = , ; y , ;z , với a, a’, b,b’, c, a b c c’ số nguyên , a’,b’,c’ khác Ta có a:b:c = 3:4:5 => a = 3k, b = 4k, c = 5k ( k 0) a’:b’:c’ = 5:1:2 => a’ = 5q, b’ = q, c’ = 2q (q 0) 3k 4k 5k : : : : 6 : 40 : 25 = > x:y:z = 5q q 2q 0,75 0, 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 BÀI Ý BIỂU ĐIỂM NỘI DUNG = > x y z x y z 70 40 25 40 25 71 70 27 36 45 , y ,z Vậy x = 35 14 0,25 0,25 I Vẽ hình câu a ghi GTKL 0,5đ A E D K B 4a(2,0đ) 4(6,0đ) H M C F N Do ABE vuông cân B => ABE 900 AB = BE Vì AH đường cao ABC => AH BC H AHB 900 Ta có IAB ABH AHB ABH 900 ( t/c góc ngồi) 0, EBC ABC ABE ABH 900 = > IAB EBC Xét ABI BEC có AI = BC(gt), IAB , AB = BE EBC 0,5 = > ABI = BEC(c.g.c) (đpcm) Vì ABI = BEC(c.g.c) = > AIB BCE Mà AIB IBH 900 4b(2,0đ) = > IBH BCE 900 Gọi CE BI K => BKC 900 => BI CE (đpcm) Do DM phân giác BDC , DN đường phân giác BDA Mà BDC BDA góc kề bù => DM DN => MDN 900 => MDN vuông D Trên MN lấy điểm F cho FDN FND FDN cân F 4c(1,5đ) => FD = FN Ta có FDN FDM 900 FMD FND 900 Mà FDN => FDM FMD(1) FDM cân F FND = > FD = FM 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 BÀI Ý NỘI DUNG BIỂU ĐIỂM = > FD = FM = FN = MN Ta có FMD MBD MDB (T/c góc ngồi) Vì DM phân giác BDC => BDM CDM = > FMD (2) MBD MDC Lại có FDM (3) FDC CDM Từ (1), (2), (3) => MBD (4) FDC Mà ABC cân A => DCM (5) ABC 2DBM Ta lại có DCM ( t/c góc ngồi) (6) CDF CFD Từ (4),(5),(6) => MBD => DBF cân D CFD = > DB = DF = MN (đpcm) 0,25 0,25 0,25 Bài 5(1,0 điểm) Cho 2022 số a1, a2, a3, …….,a2021, a2022 số tự nhiên khác thỏa mãn : 1 1 1 Chứng minh : Tồn a1 a a a 2021 a 2022 số 2022 số cho số chẵn 5(1,0đ) 5(1,0đ) Từ 1 1 1 a1 a a a 2021 a 2022 = > a2a3…a2022 +a1a3…a2022 + …….+ a1a2…a2021= a1a2…a2022 (1) Giả sử số a1,a2,….,a2022 số lẻ , vết trái (1) tổng 2022 số lẻ nên vế trái số chẵn , mà vế phải số lẻ => mâu thuẫn => điều giả sử sai Vậy tồn số 2022 số cho số chẵn => đpcm 0,5 0,5 Lưu ý : 1.Hướng dẫn chấm trình bày bước cách giải Nếu thí sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa Bài làm thí sinh đến đâu cho điểm đến theo biểu điểm Bài hình học, thí sinh vẽ sai hình khơng vẽ hình cho điểm Hình vẽ ý chấm điểm ý Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, thí sinh mà cơng nhận ý (hoặc làm sai ý trên) để làm ý khơng chấm điểm ý Điểm thi tổng điểm câu làm tuyệt đối không làm tròn