HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN HÀ NỘI (ĐỀ THI ĐỀ XUẤT) Đề thi gồm có 01 trang ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIII NĂM 2023 MÔN THI TOÁN – LỚ[.]
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN HÀ NỘI (ĐỀ THI ĐỀ XUẤT) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIII - NĂM 2023 MƠN THI: TỐN – LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm có 01 trang Câu (4,0 điểm) Tìm tất hàm đoạn i ii 0;1 f x có tập xác định tập giá trị thỏa mãn tất điều kiện sau: x f x 0;1 với f x f x x x 0;1 ; với x 0;1 Câu (4,0 điểm) Xét số thực x, y, z thoả mãn điều kiện x, y, z x y y z z x Chứng minh Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC không tam giác cân Gọi H , Ao , Bo , Co trực tâm trung điểm cạnh BC , CA, AB tam giác ABC Các đường thẳng qua A, B, C vng góc với HAo , HBo , HCo cắt đường thẳng BC , CA, AB A1 , B1 , C1 Chứng minh ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng Câu (4,0 điểm) Tìm số nguyên tố x, y thỏa mãn phương trình 3 x y Câu (4,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 2023 điểm phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi S tập đoạn thẳng nối từ hai điểm 2023 nói Một đoạn thẳng tập S gọi “độc lập” đoạn thẳng khơng có điểm chung với đoạn thẳng S (trừ điểm chung đầu mút) Tìm số đoạn thẳng “độc lập” lớn có Hết -Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên học sinh: ……………………………………… Số báo danh: ………………… Họ tên, chữ ký giám thị: ……………………………………… …………………… TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN HÀ NỘI ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIII - NĂM 2023 MÔN THI: TOÁN – LỚP 10 ĐÁP ÁN ĐỀ ĐỀ XUẤT Câu (4,0 điểm) Tìm tất hàm đoạn 0;1 ii có tập xác định tập giá trị thỏa mãn tất điều kiện sau: x f x 0;1 i f x với f x f x x x 0;1 ; với x 0;1 Câu ĐÁP ÁN ĐIỂM 4,0 x 0;1 Bổ đề: Với với số tự nhiên n khác 0, ta ln có: n 1 x nf x 0;1 với x 0;1 ; i1 f i2 n 1 x nf x nx n 1 f x - Thật vậy, bổ đề với n 1 - Giả sử bổ đề với n = k Nghĩa i k 1 x kf x ii f Đặt 0;1 với x 0;1 ; k 1 x kf x kx k 1 f x y k 1 x kf x , ta có y f y 2 k 1 x kf x kx k 1 f x k x k 1 f x 0;1 ; 1,0 1,0 f y f y y k 1 x kf x Do đó, bổ đề với n = k + Vậy bổ đề chứng minh f xo xo n 1 xo nf xo n xo f xo xo 0;1 Giả sử tồn xo để với n đủ lớn Do đó, f x x với x 0;1 1,0 1,0 Câu (4,0 điểm) Xét số thực x, y, z thoả mãn điều kiện x, y, z x y y z z x Chứng minh Câu ĐÁP ÁN ĐIỂM 4,0 đ Xét tam giác ABC có cạnh 1,0 Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm M, N, P không trùng với A, B, C cho AM x, BN z , CP y Như x, y, z Khi đó, S AMP S BMN S CNP S ABC Nghĩa là, 1 1 AM AP.sin A CP.CN sin C BN BM sin B AB AC.sin A 2 2 1 x y y z z x 2 x y y z z x 1,0 1,0 1,0 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC không tam giác cân Gọi H , Ao , Bo , Co trực tâm trung điểm cạnh BC , CA, AB tam giác ABC Các đường thẳng qua A, B, C vng góc với HAo , HBo , HCo cắt đường thẳng BC , CA, AB A1 , B1 , C1 Chứng minh ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng Câu ĐÁP ÁN ĐIỂM 4,0 1,0 Gọi M, N, P chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tam giác ABC Do tam giác ABC không tam giác cân nên M Ao Qua H kẻ tia Hx, HAo , HB, HC chùm Hx song song với BC (như hình vẽ); ta có chùm điều hòa H ;90o Hx, HAo , HB, HC thành chùm với Xét phép quay biến chùm A M , A1 , C , B tia tương ứng song song với tia chùm chùm A1 B MB MC chùm điều hịa, ta có A1C B1C NC C1 A PA ; B A NA C B PB 1 Tương tự, ta có Hơn nữa, AM, BN, CP đồng quy H nên A1 B B1C C1 A MB NC PA 1 A1C B1 A C1B MC NA PB Áp dụng định lý Menelaus, suy ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng 1,0 1,0 1,0 Câu (4,0 điểm) Tìm số nguyên tố x, y thỏa mãn phương trình 3 x y Câu ĐÁP ÁN ĐIỂM 4,0 m k k m k 1 Nhận xét k 1 k 3k 3k Số số m thỏa mãn điều kiện Vậy, phương trình cho tương đương với x S k 1 k y 1,0 1,0 S k k 3k 3k 1 x Do Sk có tính chẵn, lẻ với k nên x số nguyên tố lẻ số chẵn lớn nên y khơng số ngun tố Do x 2, suy y 7 S k 1 k y 1,0 1,0 Câu (4,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 2023 điểm phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi S tập đoạn thẳng nối từ hai điểm 2023 nói Một đoạn thẳng tập S gọi “độc lập” đoạn thẳng khơng có điểm chung với đoạn thẳng S (trừ điểm chung đầu mút) Tìm số đoạn thẳng “độc lập” lớn có Câu ĐÁP ÁN Xét đa giác lồi H có k đỉnh (với k 2023 ) lấy từ 2023 điểm cho chứa tất điểm lại Ta thấy rằng, số đoạn thẳng “độc lập” nhiều đa giác H chia thành tam giác nhỏ khơng có điểm chung Số tam giác nhỏ nói S1 k 2023 k 4044 k Vậy số đoạn thẳng “độc lập” vẽ 4044 k k 6066 k S2 Do k 2023 nên S 6066 6063 Vậy số đoạn thẳng “độc lập” nhiều 6063 đạt đa giác lồi tam giác ĐIỂM 4,0 đ 1,0 1,0 1,0 1,0