HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XIV, NĂM 2023 ĐỀ THI MÔN TOÁN HỌC LỚP 10 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ng[.]
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XIV, NĂM 2023 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC - LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15 tháng năm 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu (4,0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n , tồn nhiều đa thức P x P x 1 P x ax b ; có bậc n, hệ số thực thỏa mãn với a, b số thực cho P x trước 2 Câu (4,0 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c 3 Chứng minh a b c 1 b2 c2 a2 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O ) có AD đường phân giác ( D thuộc BC ) Gọi E , F điểm cung CA chứa B , cung AB chứa C đường tròn (O ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt AB M Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF cắt AC N a) Chứng minh bốn điểm B, M , N , C nằm đường tròn b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Gọi AP, AQ đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN , ACM Chứng minh đường thẳng BQ, CP, AI đồng quy Câu (4,0 điểm) Cho số nguyên dương n Chứng minh tồn số nguyên dương a, b, c cho 2027 n ( a bc)(b ac) n số chẵn Câu (4,0 điểm) Một số nguyên dương m gọi “tốt” tồn số nguyên dương a, b, c, d cho m a b c d m 49 ad bc a) Chứng minh số nguyên dương m “tốt” tồn hai số nguyên dương x, y cho xy m x 1 y 1 m 49 b) Tìm số “tốt” lớn ………………………HẾT……………………… Họ tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh:……………………… Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu - Cán coi thi khơng giải thích thêm