Toan 10 de + dap an

Trường PTTH chuyên Trần Phú ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ Mơn : TỐN lớp 10 Năm 2010 Bài Giải hệ phương trình y   y 0  1 x  1 x  x    x  x   y 3    y   x  y 1  1  Bài Cho x, y, z thoả mãn   x  z 1   3 x  y  z 4  3  10 Chứng minh 3x  y  z  Bài Với n  Z  gọi Sn giá trị nhỏ tổng n   2k  1  ak2 Trong : a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7 17 k 1 Có số nguyên dương n để Sn số nguyên Tìm số nguyên dương n Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC >CA Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp H trực tâm F chân đường cao CH tam giác Đường thẳng vng góc với OF F cắt cạnh CA P Chứng minh FHP BAC Bài Cho đa giác lồi có 16 cạnh Chứng minh có hai đường chéo mà góc chúng nhỏ 20 - Lời giải tóm tắt(Hải phịng) Bài Từ pt (1) ta có:  x  y ( x   x )  y 0 y 0 x  y  x   x 0 y x (3)  x  từ (2) &  3 ta có:   y     y   y  y    0      x  y  y x  y 3 y thay vào  3 giải ta có nghiệm  0;  1 Bài Từ  3   3x 4  y  z bình phương hai vế x 16  y  z  16 y  yz  z  x  y  z 16  10 y  z  16 y  yz  z  x  y  z 10 y  16 y  16  z  z  y   y  z 2 nên x  y  3z 10 y  16 y  16   2 Xét 10 y  16 y  16 10  10 y  16 y  0  y   ;1 5  10   Với y   ;1 x  y  3z 10 y  16 y  16  3x  y  z  5  9 14   Với y   :  ta có x  y   3x  y  z      10 25 25 25   Dấu = xẩy x  , y z 1 Bài Ta chứng minh n  a i i b i 1 n  k 1 Áp dụng vào toán   n   n         bi   i 1   i 1  2  n   n   2k  1  a     2k  1     ak   n  17  k 1   k 1  2 k S n  n  17    n  17 h , h   h  n 17  h 145   h  n   h  n  17     n 12  h  n 1 Bài Gọi D, K giao điểm (O) đường vng góc với OF F FD=FK, CF (O)=M, KD BM=J, KD CA P  FJ FB (Bài tốn bướm) Ta có FM = FH (M H đối xứng qua BC) Vậy tứ giác HJMP hình bình hành nên ta có FHP BAC Bài Số đường chéo đa giác C162  16 104 + Nếu 104 đường chéo mà có cặp song song góc hai đường chéo 00 tốn chứng minh + Nếu khơng có hai đường chéo song song với Ta lấy điểm O măt phẳng Qua O kẻ 104 đường thẳng song song với 104 đường chéo đa giác, 104 đường thẳng tạo với liên tiếp 208 góc có tổng 3600 , suy tồn góc có số đo  3600  20 208