Trường PTTH chuyên Trần Phú ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ Mơn : TỐN lớp 10 Năm 2010 Bài Giải hệ phương trình y y 0 1 x 1 x x x x y 3 y x y 1 1 Bài Cho x, y, z thoả mãn x z 1 3 x y z 4 3 10 Chứng minh 3x y z Bài Với n Z gọi Sn giá trị nhỏ tổng n 2k 1 ak2 Trong : a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 17 k 1 Có số nguyên dương n để Sn số nguyên Tìm số nguyên dương n Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC >CA Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp H trực tâm F chân đường cao CH tam giác Đường thẳng vng góc với OF F cắt cạnh CA P Chứng minh FHP BAC Bài Cho đa giác lồi có 16 cạnh Chứng minh có hai đường chéo mà góc chúng nhỏ 20 - Lời giải tóm tắt(Hải phịng) Bài Từ pt (1) ta có: x y ( x x ) y 0 y 0 x y x x 0 y x (3) x từ (2) & 3 ta có: y y y y 0 x y y x y 3 y thay vào 3 giải ta có nghiệm 0; 1 Bài Từ 3 3x 4 y z bình phương hai vế x 16 y z 16 y yz z x y z 16 10 y z 16 y yz z x y z 10 y 16 y 16 z z y y z 2 nên x y 3z 10 y 16 y 16 2 Xét 10 y 16 y 16 10 10 y 16 y 0 y ;1 5 10 Với y ;1 x y 3z 10 y 16 y 16 3x y z 5 9 14 Với y : ta có x y 3x y z 10 25 25 25 Dấu = xẩy x , y z 1 Bài Ta chứng minh n a i i b i 1 n k 1 Áp dụng vào toán n n bi i 1 i 1 2 n n 2k 1 a 2k 1 ak n 17 k 1 k 1 2 k S n n 17 n 17 h , h h n 17 h 145 h n h n 17 n 12 h n 1 Bài Gọi D, K giao điểm (O) đường vng góc với OF F FD=FK, CF (O)=M, KD BM=J, KD CA P FJ FB (Bài tốn bướm) Ta có FM = FH (M H đối xứng qua BC) Vậy tứ giác HJMP hình bình hành nên ta có FHP BAC Bài Số đường chéo đa giác C162 16 104 + Nếu 104 đường chéo mà có cặp song song góc hai đường chéo 00 tốn chứng minh + Nếu khơng có hai đường chéo song song với Ta lấy điểm O măt phẳng Qua O kẻ 104 đường thẳng song song với 104 đường chéo đa giác, 104 đường thẳng tạo với liên tiếp 208 góc có tổng 3600 , suy tồn góc có số đo 3600 20 208