ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN DUYÊN HẢI BẮC BỘ - KHỐI LỚP 11 (Đề Hải phòng đề nghị) Bài (Phương trình hệ phương trình) Giải hệ phương trình: y x cos 3 z y cos 3 z cos x 3 Bài (Hình học phẳng) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến đường tròn C D cắt đường thẳng AB N, M Hai đường thẳng NC MD cắt E Hạ EF MN Chứng minh EF phân giác góc CFD Bài (Phương trình hàm – Hàm số) Cho n số tự nhiên Tìm tất hàm số liên tục f x thỏa mãn 0, x R Cn0 f x Cn1 f x Cnn f x n Bài (Dãy số - Đa thức) Cho dãy xn n 1 thỏa mãn x1 1; x2 x3 9; x4 1 xn 4 xn xn 1 xn 2 xn 3 , n 1 Chứng minh tồn lim xn tính giới hạn Bài (Tổ hợp) Chứng minh với số tự nhiên n 2 tồn tập hợp S gồm n số tự nhiên cho ab chia hết cho a b với số a b phân biệt thuộc S Đáp án x f ' x sin x f ' x 1 3 3 3 Bài Xét hàm số f x cos Từ x y f y f z f ' y z y z Tương tự ta có x y y z z x y x x y y z z x Giả sử x max x, y, z x y z Từ có f x x Xét hàm số: g x x cos x g ' x 1 sin x 3 3 3 3 Vậy g(x) đồng biến mà g 0 nên hệ phương trình cho có nghiệm x y z Bài T D C M E A F B N Giả sử tiếp tuyến cắt T, TE cắt MN F’ Hạ TF’’ vng góc với MN Khi TO phân giác góc MTN nên OM TM ON TN MF ' ND TC 1 NF ' TD MC MF ' MC MC DO MF '' TF '' MF '' cot CMO tan DNO NF ' ND CO ND TF '' NF '' NF '' Vậy F F ' F " Tứ giác TCOF, TOFD nội tiếp nên TFC TOC ; TFD TOD mà TOC TOD Theo định lí Ceva: nên FE phân giác góc CFD Bài Trước hết ta chứng minh bổ đề: Nếu g(x) hàm số liên tục thỏa mãn g x g x 0 g x 0 Dễ thấy g(x) hàm số chẵn nên ta xét với x 0 Ta có g 0; 1 g 1 0 g x n n g x n n g x lim 1 g x 0 n n 1 g x02 0 Xét x0 0;1 ta có g x0 1 g x0 nlim Xét x0 1; ta có g x0 1 n 2n n n 2n Vậy g x 0 , x R Bổ đề chứng minh xong k k Trở lại toán, xét hàm số Gk x Ck f x Ck f x Ck f x 0 Nhận thấy Gk x liên tục Gk x Gk x Gk 1 x , k N Từ giả thiết ta có Gn x 0 Gn x Gn x 0 Theo bổ đề Gn x 0 Tiếp tục G0 x 0 f x 0, x Bài Đặt M n max xn ; xn1; xn 2 ; xn 3 ; mn min xn ; xn 1 ; xn2 ; xn 3 Ta thấy mn dãy tăng bị chặn trên, M n dãy giảm bị chặn mn m lim M n M m M Như tồn nlim n M M n M m mn m Với tùy ý tồn n0 cho n n0 : Mặt khác tồn n n0 cho xn 4 mk 3 Như xn 4 xn xn1 xn2 xn 3 mk M m m M m , Cho dẫn đến m M Vậy m M a Do tồn lim xn a Từ đẳng thức xn44 xn xn 1xn 2 xn 3 , nhân vào ước lược ta xn44 xn33 xn22 xn 1 x1 x22 x33 x44 a10 95 a 3 Vậy lim xn 3 Bài Ta chứng minh toán phương pháp quy nạp toán học Với n = chọn S2 0;1 Giả sử toán đến n = k nghĩa ta chọn tập Sk thỏa mãn toán Ta chứng minh toán với n = k + Gọi L bội số chung nhỏ số khác có dạng a b ab với tất a, b S k Xét Sk 1 L a | a S k 0 Suy Sk+1 có k phần tử Ta chứng minh thỏa mãn toán Thật vậy: Nếu số a b ab a b Nếu số có dạng L a L b ta có L a L b L L a b ab ab L a L b L a L b Từ suy điều phải chứng minh