Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 89 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
89
Dung lượng
2,73 MB
Nội dung
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CON CUÔNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn : TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1.(5,0 điểm) Cho phương trình bậc hai x x m (1) với x ẩn số a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x x x1 Câu (3,0 điểm) � �x x y xy xy y �4 x y xy (2 x 1) Giải hệ phương trình: � Câu 3.(5,0 điểm) P 4sin cos sin cos a) Cho góc thỏa mãn tan Tính giá trị biểu thức uuur uuu r uuur uuur BD BC; AE AC b) Cho tam giác ABC Gọi D, E Điểm K đoạn AD thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AK Câu ( 5,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương trình CD : x y , �16 � E � ;1� �3 � a) Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I giao CD BE b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm Câu (2,0 điểm) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 2 a b c abc Hết -Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn Họ tên thí sinh : Số báo danh : HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu a) Nội dung Điểm Phương trình x x m 5,0 Giải phương trình (1) m 1,5 Khi m PT (1) có dạng: x x 0,5 ' Ta có: 0,5 PT (1) có nghiệm phân biệt: x1 x2 0,5 b) Tìm giá trị m thỏa mãn 3,5 Lập ∆ = 25 - 4m Phương trình có nghiệm x1 , x2 ∆ ≥ hay m Áp dụng hệ thức Viet, ta có Hai nghiệm x1 , x2 dương x1 x2 5; x1 x2 m x1 + x > � � � � x1 x > � 0,5 hay m > Điều kiện để phương trình có nghiệm dương x1, x2 (*) Ta có: Suy Ta có Hay ( x1 + x ) 0,5 25 25 0 t = => m = (thoả mãn (*)) Với 2t2 + 9t + 18 = : phương trình vơ nghiệm Vậy với m = phương trình cho có hai nghiệm dương x 1, x2 thoả mãn x1 x x x �x x y xy xy y �4 x y xy (2 x 1) Giải hệ phương trình: � 3,0 � ( x y ) xy ( x y ) xy � �� 2 x y xy � � Hệ � a x2 y � b xy Đặt � Hệ trở thành: 1,0 a ab b � �2 a b 1 � (*) 0,5 � � a a 2a a (a a 2) � � (*) � � � � b a b a2 � � Hệ Từ tìm 0,5 (a; b) � (0; 1); (1; 0); ( 2; 3) �x y � x y 1 � xy ( a ; b ) (0; 1) � Với ta có hệ 0,5 �x y � ( x; y ) (0; 1);(1;0);( 1;0) � xy ( a ; b ) (1; 0) � Với ta có hệ Với (a; b) (2; 3) 0,5 ta có hệ 3 � � �x y 2 �y �y �� �� � x 1; y x x � xy 3 � �x x � ( x 1)( x x 3) � � Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y ) � (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3) Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0,5 5,0 Cho góc thỏa mãn tan Tính giá trị biểu thức a) P sin cos sin cos 4sin cos sin cos 4sin cos P sin cos3 sin cos3 4sin sin cos 4sin cos cos sin cos tan tan tan tan 4.8 4.2 82 2,5 1.0 0,5 0,5 0,5 uuur uuu r uuur uuur BD BC; AE AC b) Cho tam giác ABC Gọi D, E Điểm K b) 2,5 AD đoạn thẳng AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AK uuur uuur uuu r uuur uuu r AE AC � BE BC BA (1) 4 Vì 0,5 uuur uuur uuur uuur uuu r AK x AD � BK xBD x BA (1) Giả sử uuur uuu r uuur uuur uuur 2x uuur uuur BD BC AK x.AD � BK BD (1 x)BA 3 Mà nên 0,5 0,5 m 2x 3m uuu r uuur &1 x 0 BC; BA Do không phương nên 0.5 uuur uuur AD x ;m AK AD � 3 Vậy AK Từ suy 0,5 Tốn học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông B, AB = 2BC, D trung điểm AB, E điểm thuộc đoạn AC cho AC = 3EC, có phương 16 � � E � ;1� trình CD : x y , �3 � 5,0 Chứng minh BE phân giác góc B, Tìm tọa độ điểm I 2,5 a) giao CD BE A D I E 0,5 C B BA EA 2�E Ta có BC EC chân đường phân giác Do BD = BC � BE CD � BE : 3x y 17 0,5 �x y � x y 17 I BE �CD � tọa độ điiểm I nghiệm hệ � Giải hệ phương trình � I 5; 1,0 b) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm Đặt BC a � AB 2a, AC a 5, CE 0,5 (1) � IE EC IC � IE 2,5 a � 450 � IB IC BC a CBE 2 Do Tam giác EIC vuông I 0,5 uur uur � IB IE � B(4;5) Từ (1) (2) Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn a 0,5 (2) 0,5 Gọi C (3c 1; c ) từ c 1 � BC � c 4c � � c3 � 0,5 Với c � C (2;1), A(12;1) (KTM) Với c � C (8;3), A(0; 3) (TM) 0,5 Vậy A(0; 3), B(4;5), C (8;3) Cho a , b, c số thực dương thoả mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2,0 1 2 a b c abc Áp dụng BĐT AM- GM ta có ab bc ca 33 a b c 1= a + b + c � 3 abc P P 0,5 abc 3 ab bc ca 3 abc abc 9abc 2 a b c ab bc ca 0,5 1 2 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca 0,5 30 a b c 2ab 2bc 2ca a b c 2 Vậy giá trị nhỏ P 30 chẳng hạn Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn a b c 0,5 `SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017-2018 Mơn thi: TỐN 10 (đề thi đề nghị) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Câu (4,0 điểm) a) Tìm tập xác định hàm số : x ;x b) Gọi hai nghiệm phương trình Đặt Với giá trị đạt giá trị nhỏ Câu (3,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Câu (4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có BC,các đường thẳng AB AC qua điểm M(1;) N(0;) Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x+y – 2=0 điểm B có hồnh độ dương Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện = tam giác ABC tam giác cân b) Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB, N điểm cạnh AC uuur uuuur uuuu r uuur cho NC NA I trung điểm đoạn MN Chứng minh : BC NM BM NC Hãy uuur uur uuu r biểu diễn vecto AI theo hai vecto AB AC -Hết Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN Câu Câu 5,0 HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN 10 Nội dung a) Giải phương trình: (1) ĐK: x 0; Khi đó: (1) Điể m 2,5 0,25 0.5 0.5 Vậy (1) có nghiệm: 0.5 0.5 0.25 b) Giải hệ phương trình Điều kiện: PT thư tương đương: Kết hợp với PT hai ta Vậy, hệ cho có nghiệm 2,5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 Câu 4,0 Nội dung a) Tìm tập xác định hàm số : ĐK: Điể m 1.5 0.5 0.5 x ;x b) Gọi hai nghiệm phương trình Đặt Với giá trị đạt giá trị nhỏ Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0.5 2.5 + PT có hai ngiệm + 0.25 0.25 0.5 A nhỏ 0.5 0.5 0.5 Câu 3,0 Cho hai số thực dương x, y biểu thức sau: thỏa x + y =1 Tìm giá trị nhỏ Viết lại Theo Cô si: (1) ( Do x+y=1 ) Theo Bunhiacopski: ( Do x+y=1 ) (2) Câu 4,0 Trừ theo vế (1) (2) ta có : Dấu đẳng thức xảy Vậy minQ = Phương trình đường thẳng qua N vng góc với AH Tọa độ giao điểm I AH với nghiệm hệ PT Gọi N1 giao điểm AB, suy Đường thẳng AB qua hai điểm M N1 nên có PT 7x+3y = Tọa độ điểm A nghiệm hệ Giả sử Khi 0.5 0.25 0,5 0,5 0,25 0,25 PT đường thẳng BC: x-y = Tọa độ điểm H nghiệm hệ 0.25 0,5 0.5 0.5 0.25 Câu Nội dung Câu a) Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện = tam giác ABC tam giác cân Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0.5 Điể m 2,0 4,0 + Viết + + Thay vào = 2, rút gọn ta b=c + Vậy tam giác ABC cân A 0.5 0.5 0.75 0.25 b) Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh AB, N điểm cạnh AC cho NC NA I trung điểm đoạn MN uuur uuuur uuuu r uuur uur BC NM BM NC Chứng minh : Hãy biểu diễn vecto AI theo hai uuur uuu r vecto AB AC uuur uuuur uuuu r uuur BC NM BM NC + Chứng minh + Ta có I trung điểm MN 2.0 0.5 0.5 0.5 0.5 Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 10 Câu Nội dung A Điể m 2,0 N Câu x 12 3x x (1) I phương trình a) Giải 0,25 5,0 ĐK: x 5/3 (*) ĐỀ ĐỀ NGHỊ KỲ THI OLYMPIC SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẢNG NAM x 12 3x 6MƠN x 2:TỐN 10 - NĂM HỌC 2017-2018 TRƯỜNG HỒ NGHINH Khi đó: (1) 0,25 MTHPT C B Thời gian 2 :150 phút (Không kể thời gian giao x 4 x 4 � xđề) 2 0,5 x 12 x2 � x2 � 0,25 x2 � x 2 � � � x2 � � x 12 x (thỏa (*)) 0,5 1 x2 x2 � 0 x 12 x2 x 12 x2 Vì 0,25 Vậy (1) có nghiệm: x = 2 � �x 9xy 6x y 4y (1) � x y x y (2) b) Giải hệ phương trình � �x y �0 � Điều kiện: �x y �0 (*) 3,0 0,5 �x � �x � x � � � � � y �y � �y � Nhận thấy y = không thỏa (1) nên (1) �x �y xy � �� �� x 4y �x � �y � So với (*) ta nghiệm Câu Câu 3,0 x; y 0,5 0,5 2x � x y Với x = y thay vào (2) ta : Với x = 4y thay vào (2) ta được: 5y 3y � y 0,5 5 3�y 5 hệ : 2; 5 a) Tìm tập xác định hàm số : 0,5 ; (32 15;8 15) Nội dung y 0,5 x 5x 2017 Điể m 1,0 x 9x 11x 21 x 5x 2017 �0 x 9x 11x 21 Hàm số cho xác định : � x 9x 11x 21 ( Vì x2 -5x + 2017 > với x) 1 x � �� � x7 1;3 � 7; � Vậy tập xác định hàm số cho D = Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): x m 1 x m3 m 1 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện 0,25 0,25 0,25 0,25 75 Câu (5,0 điểm) a.(3đ) Giải bất phương trình x 2x x 3x �2x b.(2đ) Giải hệ phương trình x 6x y 9xy 4y (1) � � � � x y x y (2) Câu (3,0 điểm) a (2đ) Cho parabol (P) : y = 3x2 – x – Gọi A,B giao điểm (p) với Ox Tìm m (3 đ) M,N giao điểm nên xM , xN hai nghiệm (*) 49 12m MN x M x N (x M x N ) 4x M x N A B, M N đối xứng qua trục đối xứng (P) nên bốn điểm tạo m m (do m 0) nên hình thang cân có hai đáy AB, MN, độ dài đường cao = 49 12m 7m m 49 12m SABMN ( m) 6 i) �m (lo� � � m 28m 48 � � m 2 (nh� n) �m 4 (nh� n) � Vậy m = -4 , m = -2 thỏa mãn đề Cho sina.sinb 5cosa.cosb T� nh S b T�gi�thi� t c�tana.tanb 0.25 đ 0.25 đ 0.5 d 0.5 đ 0.25 đ 1 2 sin a 5cos a sin b 5cos2 b 1 tan2 a 1 tan2 b tan2 a tan2 b 40 4tan2 a 4tan2 b tan2 a.tan2 b 5tan2 a 5tan2 b 25 4(10 tan2 a tan2 b) 5(10 tan2 a tan2 b) S Câu (3,0 điể m) 0.25 đ Cho a, b, c số thực dương thỏa a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c T 1 a 1 b 1 c (1 a) (1 b) (1 c) T 1 a 1 b 1 c 1 ( ) ( a b c) 1 a 1 b 1 c Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 1đ 0.25 đ 0.25 đ 0.5đ 3đ 0.5 đ 78 1 1 a 1 b 1 c Đặt 1 1 A �3 1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c) A 0.5 đ Lại có : a b c �3 (1 a)(1 b)(1 c) � (1 a)(1 b)(1 c) � (1 a)(1 b)(1 c) � � (a b c) Suy A� 0.25 đ 27 0.25 đ Đặt B - ( a b c ) ( a b c) �3(1 a b c) 0.5 đ � 1 a 1 b 1 c � 0.25 đ Suy B � T=A+B Câu (2,0 điể m) T AB� 27 6 2 abc KL: MinT= Trong mặt phẳng lấy 2n + điểm ( n �� ) cho ba điểm ln có hai điểm mà khoảng cách hai điểm nhỏ Chứng minh tồn hình tròn bán kính chứa n + điểm nêu Chọn điểm A 2n + điểm Vẽ đường tròn (A;1), có hai khả : a) Nếu tất điểm thuộc hình tròn (A;1) tốn thỏa mãn b) Nếu khơng phải tất điểm thuộc hình tròn (A;1) Khi đó, có điểm gọi B khơng thuộc hình tròn (A;1) Vẽ đường tròn (B;1) Gọi C điểm 2n + điểm lại Xét ba điểm A, B, C phải có AC BC nhỏ Nếu AC nhỏ C thuộc hình tròn (A;1) Nếu BC nhỏ C thuộc hình tròn (B;1) Do 2n + điểm lại thuộc (A;1) thuộc (B;1) nên theo nguyên lí Dirichlet có n + điểm thuộc (A;1) (B;1) Nói cách khác có n+ điểm thoả mãn đề Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0.5đ 0.25 đ 2đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ 79 Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh 2 với điểm M a.MA b.MB c.MC �abc 3đ Câu (3,0 điể m) Câu (4,0 điể m uuuu r uuur uuur a.MA b.MB c.MC �0 uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur � a2 MA b2 MB2 c2 MC2 2ab.MA.MB 2bc.MB.MC 2ac.MA.MC �0 0.5 đ � a2 MA b2 MB2 c2 MC2 ab.(MA MB2 AB2 ) 1đ � a a b c MA b a b c MB2 c a b c MC2 �abc2 bca2 acb2 0.5đ bc. MB2 MC2 BC2 ac. MA MC2 AC2 �0 � a b c a.MA b.MB c.MC 2 �abc a b c � a.MA b.MB c.MC �abc uuuu r uuur uuur r Dấu xảy a.MA b.MB c.MC 2 � M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông B, AB = 16 ( ;1) 2BC D trung điểm AB, E nằm cạnh AC mà AC = 3EC Đường thẳng DC có phương trình x - 3y + = Tìm tọa độ điểm A, B, C Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0.5đ 0.5đ 4đ 80 EA BA Ta có EC BC nên BE phân giác góc B Suy BE vng góc DC, nên DC có ptrình 16 3(x ) 1(y 1) � 3x y 17 � I DC �BE (5; 2) Gọi BC= a tính uu r uu r � IB 3IE � B(4;5) IE a ; IB 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ a 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ C �x 3y � c(3c 1;c) BC 2BI � c 4c c � C(2;1) � �� c � C(8;3) � KL: A(12;1), B(4,5), C(2;1) A(0;-3), B(4;5), C(8,3) 0.5 đ 0.5 đ Chú ý: thí sinh làm theo cách khác đúng, giám khảo dựa vào thang điểm cho điểm tương ứng SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH MƠN: TỐN 10 Năm học: 2017 - 2018 ĐỀ Câu 1: (5,0 điểm) a Giải bất phương trình: 2x x Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn x 3x 81 � x2 2 y x2 � � x xy x y y y � b Giải hệ phương trình: Câu 2: (4,0 điểm) y f(x) x x a Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số: b Tìm giá trị tham số m cho hàm số y f(x) x (2m 1)x m có giá trị bé đoạn [0;1] Câu 3: (4,0 điểm) a Cho a,b,c số dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 �ab bc ca b c a b Tìm giá trị lớn biểu thức: P yz x zx y xy z xyz Câu 4: (4,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) trung điểm BC I(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - = Gọi D , E chân đường cao kẻ từ điểm B C tam giác ABC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình DE x - = điểm D có hồnh độ dương Câu 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ thuộc cạnh BC, CA, AB.Chứng minh diện tích ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’C’ vượt qua phần tư diện tích tam giác ABC Với điều kiện tam giác có diện tích phần tư diện tích tam giác ABC HẾT - KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án – Thang điểm gồm trang) Câu Đáp án Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn Điể m 82 Câu 2x a) Giải phương trình (5,0 điểm Điều kiện: �x �2 ) + 2x x 2 x x 3x 2,0 0,2 x x � (3 x 4) ( x 1) x � 3x x x x 3x � x x x � (2 x )( x 1) x x 3x Giải tìm tập nghiệm bất phương trình S= 0,5 0,5 0,2 1;2 � x2 2 y x2 � � x xy x y y y b) Giải hệ phương trình � xy x y y �0 Điều kiện: y �0 - Xét phương trình thứ hai hệ: 2 x xy x y y y � ( x y 1) 3( xy x y y y 1) � � 3( y 1) � � � ( x y 1) � � � xy x y y y 1 � � x y (vì theo điều kiện biểu thức ngoặc vng ln dương x 1 thay vào phương trình thứ ta được: + Với x2 x x2 � 2( x 2) � � ( x 2) � x � x 1 1 � x 53 � x � Điều kiện: Khi đó, ta có: 0,5 3,0 0,2 0,5 0,5 0,2 y 2( x 2) x 53 x 1 1 x2 � � � ( x 2) � 1 � � x 1 1 � x 5 � Toán học Bắc Trung Nam – www.toanhocbactrungnam.vn 0,2 0,5 0,2 83 Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( 2; ) Câu Câu 2(4,0 điểm) ãn a/ Lập bảng y f(x) x x biến thiên Đáp án vẽ đồ 0,5 thị hàm Điểm số: 1,5 � � x2 2x+1 , x �2 y f(x) � -x 2x 1, x