De 1 đề thi học sinh giỏi cụm nam – bắc từ liêm

PHẦN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỤM NAM – BẮC TỪ LIÊM NĂM HỌC 2016 – 2017 Bài Giải phương trình sau 1) sin x  cos x  sin 3x 2) sin x  tan x 3 Bài 1) Có số tự nhiên gồm chữ số mà số lập có chữ số liền sau ln lớn chữ số liền trước 2) Cho n số nguyên dương, chứng minh Cn0Cn1  Cn1Cn2  Cn2Cn3  Cnn  1Cnn C2nn1 Bài u1 1 Cho dãy số (un ) thỏa mãn  (un  1)un 1 (n  1) 1) Chứng minh 2) Tính lim n2 un n  n 1 n.un (n  1) Bài 1) Cho tam giác ABC có ba cạnh có độ dài lập thành cấp số nhân Chứng minh tam giác ABC khơng có hai góc lớn 600 2) Cho tam giác ABC nhọn Tìm vị trí điểm M thuộc miền tam giác ABC cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M điểm cạnh SC (M không trùng với S C) Mặt phẳng    chứa đường thẳng AM song song với đường thẳng BD cắt SB, SD E F 1) Chứng minh mặt phẳng    chứa đường thẳng cố định 2) Chứng minh biểu thức T  SB SD SC   có giá trị khơng đổi SE SF SM LỜI GIẢI: Bài Giải phương trình sau: 1) sin x  cos x  sin x sin x  cos x  sin x  (t  1)(2t  t  3) 0     x x   k 2   x  5  x  k 2  sin( x   )  sin x  sin( x   ) sin x    x   k  ;k  Z  x  5  k   16 2) sin x  tan x 3 (1) Điều kiện: cos x 0 (*) 2t Đặt t t anx  sin x  1 t Khi đó: (1)  2t  2t 3 1 t2  (t  1)(2t  t  3) 0  2t  3t  4t  0  t 1  t anx 1   x   k (thỏa ĐK (*)) Bài a) Có số tự nhiên có chữ số mà số lập chữ số liền sau lớn chữ số liền trước Giải: Do số cần lập chữ số đứng liền sau lớn chữ số đứng liền trước nên số khơng thể chứa số có chữ số khác Với cách chọn chữ số khác lấy từ tập hợp chữ số {1;2;3; 9} có cách xếp chữ số thành số tự nhiên có chữ số thỏa mãn yêu cầu tốn (xếp theo thứ tự tăng dần) Do số số tự nhiên có chữ số mà số cần lập chữ số đứng liền sau lớn chữ số đứng liền trước C9 126 số b) Cho n số nguyên dương Chứng minh: Cn0Cn1  Cn1Cn2  Cn2Cn3   Cnn  1Cnn C2nn1 Giải: Cách Xét khai triển: 1 x n 1 x 2n Cn0 x n  Cn1 x n    Cnn  1 C20n x n  C21n x n    C22nn n  2 n Hệ số x n khai triển   x    x  CnnCn1  Cnn  1Cn2  Cnn 2Cn3   Cn1Cnn n n Do Cnk Cnn  k , k 0;1; 2; ; n nên hệ số x n khai triển   x    x  Cn0Cn1  Cn1Cn2  Cn2Cn3   Cnn 1Cnn Hệ số x n khai triển   x  n n 2n n 1 C2 n Đồng hệ thức   x    x    x  2n ta có: Cn0Cn1  Cn1Cn2  Cn2Cn3   Cnn  1Cnn C2nn1 (đpcm) Cách Xét toán: Một hộp đựng 2n viên bi gồm n viên bi màu đỏ n viên bi màu xanh Hỏi có cách lấy n  viên bi từ hộp giải: Mỗi cách lấy n  viên bi từ hộp tổ hợp chập n  2n Do số cách lấy n  viên n 1 bi hộp C2 n Để lấy n  viên bi hộp ta lấy viên bi đỏ n viên bi xanh viên bi đỏ n-1 viên bi xanh; viên bi đỏ n-2 viên bi xanh; ; n viên bi đỏ viên bi xanh Do số cách lấy là: Cnn Cn1  Cnn  1Cn2  Cnn  2Cn3   Cn1Cnn k n k Do Cn Cn , k 0;1; 2; ; n nên CnnCn1  Cnn  1Cn2  Cnn  2Cn3   Cn1Cnn Cn0Cn1  Cn1Cn2  Cn2Cn3   Cnn  1Cnn Vậy Cn0Cn1  Cn1Cn2  Cn2Cn3   Cnn  1Cnn C2nn1 Bài u1 1 (1) Cho dãy số (un ) thỏa mãn  (un  1)un 1 (n  1) 1) Chứng minh n2 un n  (*) n 1 2) Tính lim n.un (n  1) Giải: 1) Ta chứng minh (*) phương pháp chứng minh quy nạp Với n 1 : Ta có un 1 2 nên (*) Giả sử (*) n k , (k  N , k 1) tức là: k2 uk k  k 1 (k  1) Ta cần chứng minh (*) n k  , tức cần chứng minh uk 1 k  (**) k 2 Thật vậy, từ (1)  un 1  (n  1) (k  1)  uk 1  un  uk  Từ giả thiết quy nạp ta có:  1 k 1 k2    uk  k   k  uk  k  k  k 1 (k  1) (k  1)3 uk 1  k  (đúng) k 2 k  k 1 Vậy n2 un n  n 1 2) Tính lim n.un (n  1) n.un n3 n   Từ câu 1) suy (n  1) (n  1) n 1  n3 lim (n  1)3 1 n.un  lim 1  (n  1) lim n 1  n 1 Bài 1) Cho tam giác ABC có ba cạnh có độ dài lập thành cấp số nhân Chứng minh tam giác ABC hai góc lớn 600 2) Cho tam giác ABC nhọn Tìm vị trí điểm M thuộc miền tam giác ABC cho MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Lời giải: A c b a C B 1) Khơng tính tổng qt, giả sử công bội q 1 a