KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP QUẬN QUẬN NAM TỪ LIÊM MƠN TỐN – NĂM HỌC 2020-2021 Bài (4,0 điểm) 1 1 x3 y x x y y A : x y x y x y xy x3 y Cho biểu thức với x 0, y a) Rút gọn biểu thức A b) Cho x y 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A B 3 84 1 84 Chứng minh B số nguyên Cho biểu thức Bài (4,0 điểm) Cho m 5; n 2; p 2020 só nguyên chia hết cho Chứng minh q m n p chia hết cho ( q số tự nhiên) 2 2 Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn a b c d Chứng minh abcd 2021 viết dạng hiệu hai số phương Bài (4,0 điểm) 2 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x y x y 60 37 xy 5x x2 4x Giải phương trình : Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a có tâm O Điểm M điểm di chuyển BC M B, M C Gọi N giao điểm tia AM đường thẳng CD.G giao điểm DM BN 1 AN không đổi 1) Chứng minh : AM 2) Chứng minh CG AN 3) Gọi H giao điểm OM BN Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác HAD đạt giá trị lớn Bài (1,0 điểm) Tất điểm mặt phẳng to màu, điểm tô ba màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác có màu đơi khác màu ĐÁP ÁN Bài 1 a) Rút gọn biểu thức A 1 1 x3 y x x y y x A : y 0 y x y x y xy x3 y x x y xy : xy xy x y xy x y : xy x y x3 x y y x y xy y x x y xy y x x y xy x y xy với x 0, y Vậy b) Cho x y 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y 1 A xy x y Áp dụng bất đằng thức Cô si : Với x 0, y ta có : A 1 2 x y 1 2 x y xy xy xy 2 2 Mặt khác 1 2 x y Hay 1 2 x y 1 2 xy 1 2 2 xy xy x y x y 2 x y A Do Dấu " " xảy Vậy Min A x y 2 2) Chứng minh B số nguyên Ta có: B 3 84 1 B 1 B 2 3 84 84 1 84 84 33 1 9 84 84 1 84 1 B B 2 B B B B B B 0 27 B 1 B B B 1 ( Do B B 0) Vậy B 1 số nguyên Bài 1) Ta có : m 6 m : dư 1, n 6 n : dư p 2020 6 p : dư Do m n p : dư hay m n p 1 6 4q 2q 2 22 q 1 Ta có: 22q 1 6 4q 6 q , mà : dư nên : m n p 4q m n p 1 4q 6 Do q Vậy m n p chia hết cho (q số tự nhiên) 2) Ta có : 2m 1 4m m 1 2 2 2 m m Do đó, với chia dư Nên với a, b, c, d lẻ a , b , c , d chia dư 2 2 Suy : không xảy a b c d (vì vế trái chia dư 1, vế phải chia dư 3) Vậy số a, b, c, d có số chẵn ta có abcd 2021 số lẻ a b c d 2021 n n n n n n n n n2 Đặt Vậy ta có điều phải chứng minh Bài Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x y x y 60 37 xy x y x y 60 37 xy 0 20 x 20 y 100 x y 740 xy 1200 0 20 x 20 y 10 xy 37 169 2 Vì 20 x 0,20 y 0; 10 xy 37 0 (với x, y ) vai trò x, y Ta 2 giả sử x y, 20 x 169 x 8 x 0;1;4 Suy : 20 x ;20 y ; 10 xy 37 0;0;169 ; 0;20;149 ; 0;80;89 ; 20;20;129 ; 20;80;69 ; 80;80;9 2 Mà 10 xy 37 2 số phương 20 x ;20 y ; 10 xy 37 0;0;169 ; 80;80;9 20 x 0 x 0 Th1: 20 y 0 y 0 ktm 2 10 xy 37 169 37 169 20 x 80 x 2 x y 2 Th2 : 20 y 80 y 2 x y xy 10 xy 37 xy 17 ( ktm) x; y 2;2 ; 2; Vậy 4x 1 5x x dk : x 5 2) Giải phương trình Vì x x với x, y 4x 4x 4x 0 5x x 5x x2 x 1 x 3 0 5 x x x x 5 Giải phương trình x x 5, bình phương vế ta có : 5x 2 x 1 x x 25 x 1 x 24 x x 4 x x 9 x 72 x 144 x 2(tm) x 81x 146 0 73 x ( ktm) 3 S ;2 4 Vậy tập nghiệm phương trình Bài A B E G Q O K D F H M C 1 AN không đổi 1) Chứng minh : AM N Kẻ AK AN K CD Ta có A1 A2 90 MAD ABM ADK AM AK 1 1 1 2 2 2 AN AD AM AN a khơng đổi Trong KAN vng A có : AK 1 AN không đổi Vậy AM 2) Chứng minh CG AN CG cắt AB E, DM cắt AB F 2 Ta có : AD DK DN DK DN a 1 BE BG BF BE.DN CN BF CN GN DN Do BF BM AB (do AB / /CD) BF CN CD AB a Mặt khác CD MC CD (3) DK DN BE DN DK BE AE CK Từ (1), (2), (3) EAKC hình bình hành AK / /CE Mà AK AN CE AN 3) Gọi H giao điểm OM BN Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác HAD đạt giá trị lớn CF cắt BN H ' Áp dụng định lý Papuyt O, M , H ' thẳng hàng H ' H Lấy I AB cho BI CN IBNC hình bình hành IC / / BN 2 Mà BF CN a BI BF CB ICF vuông C IC CF CF BN BHC 90 Kẻ HQ AD Q AD Gọi M ' giao điểm HQ, BC DC / / AB HM ' BC a HQ a 2 Ta có : HQ M ' Q HM ' a HM ' , mà 1 3 S AHD AD.HQ a a a 2 2 Do Dấu " " xảy M M ' trung điểm AB Bài Xét ngũ giác ABCDE , ta nhận thấy ba đỉnh ngũ giác tạo thành tam giác cân Do tơ đỉnh đủ loại màu cho tồn khả : - Nếu tô đỉnh đủ loại màu cho tồn đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân - Nếu tô đỉnh nhiều màu có đỉnh màu tạo thành tam giác cân Vậy, ln tồn tam giác cân có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác có màu đôi khác