075 đề thi hsg toán 9 quận đống đa 2019 2020

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA P Câu Cho biểu thức: x 1, x  ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2019-2020 MƠN TỐN Ngày thi: 19.10.2019 x x  18 x  11 x  x   x2 x  x1 x  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Câu a) Giải phương trình x  x   3x x  0 x b) Tìm tất cặp số nguyên dương  x; y  thỏa mãn điều kiện: x  x  12  x   y   x  x   y Câu Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  c, b  c Chứng minh rằng: c  a  c   c  b  c   ab Câu Cho hình vng ABCD Lấy điểm E thuộc đoạn thẳng BC không trùng với điểm B C Lấy điểm G cho AG  AE , điểm H cho AH  EG, điểm G , H thuộc đường thẳng CD Hai đoạn thẳng EG AH cắt K Chứng minh tam giác AEG vuông cân 2 Chứng minh CG.HG  AE  Tính số đo CBK Câu Cho 1011 số nguyên dương khác không vượt 2019 Chứng minh số cho có hai số mà số chia hết cho số lại ĐÁP ÁN Câu 1) P  x x  18 x  11 x  x   x2 x  x1 x 3   x x  18 x  11  x     x x 8 x  x    x1 x 3   x1   x 3 2 x x 3  x1  x 8 x 3 x 8 x   17 17   x  3  x 3 x 3 x 3  2)   x 3  17 6 x 3 Áp dụng định lý Cô si    x 3  Dấu " " xảy 17 2 17  P 2 17  x 3   x   17  x  17   Câu 1) x 0 nghiệm pt, nên 1  pt   x    x  4 x x  Đặt t  x  t 0  x , phương trình thành:  t 1(tm) t  3t  0     t  4( ktm) x 1 1  x  x 2)  x    x  3   x   y   x    x   y   x    y  xy  y  x    x  3  x 1  y 1  x   U (6)      x  6  x 4  y  48 y  48(VN ) Vậy x 1; y 1 Câu Đặt x a  c; y b  c Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương: cx  cy   c  x  c  y  cx  cy  2c xy c  cx  cy  xy   c  2c xy  xy 0  c  Câu xy  0 B E M C H K D A G    1) ABE ADG (vì ABE  ADG 900 BAE DAG 900  EAD )  AE  AG  AEG vuông cân A 2) GHK GEC  GH GK   GH GC GE.GK  GE  AE GE GC 3) Kẻ KM  BC Vì K trung điểm GE nên KM đường trung bình GCE  KM  CG Vì BE DG EM CM nên 1 1 KM  CG   CD  DG    CD  BE    BC  BE  2 2  1  BE  CE  BE    BE  2EM  BE  BM 2  450 BMK vuông cân K nên MBK Câu k Viết số cho dạng a k số tự nhiên a số nguyên dương lẻ (nếu số cho lẻ k 0) Từ số cho tạo 1011 số lẻ không vượt 2020 Do theo nguyên lý Dirichlet tồn số tạo hai số lẻ Và hai số đó, số lớn chia hết cho số lại