SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi 03/3/2023 Câu 1 (4[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2022 – 2023 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 03/3/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Câu (4,0 điểm) P = ( x3 - x - 5) 2023 3 1.1 Tính giá trị biểu thức x = + 1.2 An mua laptop cũ qua sử dụng năm cửa hàng X với số tiền 29, triệu đồng Sau sử dụng thêm năm nữa, An mang laptop cửa hàng X để bán, cửa hàng mua lại với số tiền 17 triệu đồng An thắc mắc chênh lệch nhiều giá mua giá bán nên nhân viên cửa hàng giải thích mối liên hệ giá tiền laptop với thời gian sử dụng biểu thị dạng hàm số y ax b (x số năm sử dụng, y giá tiền) Hãy tính giá tiền ban đầu laptop nêu chưa qua sử dụng Câu (4,0 điểm) 2.1 Hưởng ứng phong trào viết thư gửi bạn thiếu nhi huyện đảo Trường Sa Tết Nguyên đán, hai bạn Lâm Đồng mua số tờ giấy trắng mua số phong bì Lâm sử dụng tờ giấy cho thư Đồng sử dụng ba tờ giấy cho thư Biết rằng, Lâm dùng hết số phong bì mua dư 10 tờ giấy, Đồng dùng hết số giấy mua cịn dư 10 phong bì Tìm số tờ giấy bạn mua 2.2 Số nhà bạn Bình số có hai chữ số mà hiệu bình phương số với bình phương số viết theo thứ tự ngược lại số phương Tìm số nhà bạn Bình Câu (4,5 điểm) 3.1 Một tường trang trí có hình dạng tam giác ghép 36 tam giác nhau, tam giác có cạnh mét (minh họa hình bên) Hãy tính diện tích phần sơn trang trí (phần tơ đậm) 3.2 Giải phương trình: x 6 x x 3x 18 9 Câu (4,5 điểm) 4.1 Cho D ABC vuông A ( AB < AC ), lấy điểm D thuộc cạnh AC cho AD = AB 1 + = 2 BC AB Qua D kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt BC E Chứng minh BE 4.2 Cho tứ giác ABCD có M N trung điểm BD AC Đường thẳng MN cắt AD BC E F Chứng minh AE.BF = DE.CF Câu (3,0 điểm) 5.1 Một cửa hàng bán giày thể thao tuần bán 50 đơi giày với giá 500 nghìn đồng đôi Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính giảm giá bán đơi nghìn đồng số giày tuần bán tăng thêm đôi Xác định giá bán để tuần cửa hàng giày thể thao thu lợi nhuận cao nhất, biết giá nhập ban đầu cho đơi giày thể thao 300 nghìn đồng 5.2 Cho đường trịn tâm O , đường kính BC điểm A cố định BC Vẽ tiếp ( H ; HA) cắt đường ( O) D tuyến xy C xy lấy điểm H di động Vẽ đường tròn E Chứng minh đường thẳng DE qua điểm cố định Hết -Trang 1/5 Họ tên thí sinh:………………………………… Số báo danh: …………………….…………… … Giám thị 1: …………………… Ký tên ……… Giám thị 1: : …………………… Ký tên ……… Trang 2/5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HOC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) Ngày thi: 03/3/2023 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU Câu 1.1 (2,0 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM P = ( x3 - x - 5) Tính giá trị biểu thức 3 Biến đổi x = + x3 = ( 2+3 ) ĐIỂM 2023 3 x = + 0,75 điểm x = + 3 ( 2+3 ) 0,75 điểm 0,5 điểm x = + x Û x3 - x - = P = ( x3 - x - 5) Câu 1.2 (2,0 điểm) 2023 = 12023 = An mua laptop cũ qua sử dụng năm cửa hàng X với số tiền 29,6 triệu đồng Sau sử dụng thêm năm nữa, An mang laptop cửa hàng X để bán, cửa hàng mua lại với số tiền 17 triệu đồng An thắc mắc chênh lệch nhiều giá mua giá bán nên nhân viên cửa hàng giải thích mối liên hệ giá tiền laptop với thời gian sử dụng biểu thị dạng hàm số y ax b (x số năm sử dụng, y giá tiền) Hãy tính giá tiền ban đầu laptop nêu chưa qua sử dụng Lập luận suy hệ phương trình: 0,5 điểm ïìï a + b = 29,6 í ïïỵ 4a + b = 17 ïìï a + b = 29,6 Û í ïỵï 4a + b =17 ïìï a =- 4, í ïỵï b = 33,8 0,5 điểm , Tìm hàm số: y =- 4, x + 33,8 Lập luận thay x = , tìm y = 33,8 Câu 2.1 (2,0 điểm ) Kết luận: Giá tiền ban đầu laptop chưa qua sử dụng 33,8 triệu đồng Hưởng ứng phong trào viết thư gửi bạn thiếu nhi huyện đảo Trường Sa Tết nguyên đán, hai bạn Lâm Đồng mua số tờ giấy trắng mua số phong bì Lâm sử dụng tờ giấy cho thư Đồng sử dụng ba tờ giấy cho thư Biết rằng, Lâm dùng hết số phong bì mua dư 10 tờ giấy, Đồng dùng hết số giấy mua cịn dư 10 phong bì Tìm số tờ giấy bạn mua ( x, y Ỵ N * ; x, y >10) Gọi x số tờ giấy, y số phong bì bạn mua 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Trang 3/5 Lập luận: Lâm dư 10 tờ giấy nên x - y =10 y- Câu 2.2 (2,0 điểm ) 0,5 điểm 0,5 điểm x =10 Û - x + y = 30 Lập luận: Đồng dư 10 phong bì nên ïìï x - y =10 ïì y = 20 Û ïí í ï ï Giải hệ pt: ỵï - x + y = 30 ỵï x = 30 (thỏa ĐK) trả lời bạn mua 30 tờ giấy Số nhà bạn Bình số có hai chữ số mà hiệu bình phương số với bình phương số viết theo thứ tự ngược lại số phương Tìm số nhà bạn Bình Gọi số nhà bạn Bình là: ab = 10a + b Suy viết theo thứ tự ngược lại ba = 10b + a với a, b Ỵ N ; < a, b £ 0,5 điểm 0,5 điểm Theo ta có: 2 2 ab - ba = ( 10a + b) - ( 10b + a) = 99 ( a - b ) Từ giả thiết: phương ab - ba = 99 ( a - b ) = 9.11( a2 - b2 ) (a Lập luận được: số - b2 ) = ( a - b)( a + b) M 11 Lập luận được: < a - b £ 8;0 < a + b £ 18 Suy được: a + b = 11 , a - b = Tìm được: a = 6, b = trả lời số nhà bạn Bình là: 65 Câu 3.1 (2,5 điểm ) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm A Một tường trang trí có hình dạng tam giác ghép 36 tam giác nhau, tam giác có cạnh mét (minh họa hình bên) Hãy tính diện tích phần sơn trang trí (phần tơ đậm) D E B F Chứng minh được: SADE S AD SABE AE AD AE 4 = = Þ ADE = = = S ABE AB SABC AC SABC AB AC 6 36 C 0,75 điểm ; Chứng minh tương tự ta có: SBDF BF.BD 5 = = = S ABC BC.BA 6 36 SCEF EC.CF 10 = = = S ABC AC.CB 6 36 Tính được: Tính được: 0,75 điểm S ABC = 122 = 36 m 0,5 điểm SDEF = 17 SABC = 17 m 36 0,5 điểm Câu 3.2 (2,0 điểm ) Giải phương trình x 6 x x x 18 9 Trang 4/5 ĐKXĐ: x 3, Đặt x a 0; x b 0 a b 9 0,5 điểm a b ab a b a b ab a b 0 x x Phương trình vơ nghiệm a b ab a b 0 Với a b, ta có: a 1 ab a b 0 a 1 b 1 0 b 1 Với x 1 x Giải được: Câu 4.1 (2,5 điểm ) x x 4 S = { 4} Đối chiếu với ĐKXĐ, kết luận Cho D ABC vuông A ( AB < AC ), lấy điểm D thuộc cạnh AC cho AD = AB Qua D kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt BC E Chứng 1 + = 2 BC AB minh BE 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,75 điểm H Ỵ AC ) EK ^ AB Kẻ BH ^ BC ( ; K D ABH = D KEB Þ BH = BE Chứng minh được: 1 = + 2 BH BC Chứng minh được: AB 1 + = 2 BC AB Kết luận: BE Câu 4.2 (2,0 điểm ) 0,75 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Cho tứ giác ABCD có M N trung điểm BD AC Đường thẳng MN cắt AD BC E F Chứng minh AE.BF = DE.CF 0,5 điểm Trang 5/5 H Ỵ MN ) CK BD ( K Ỵ MN ) Kẻ AH // BD ( ; // ; AH AN = =1 Þ AH = CK Chứng minh được: CK NC AE AH CK CF = ; = Chứng minh được: ED DM MB BF AE CF = Þ AE.BF = DE.CF Lập luận được: ED BF Câu 5.1 (1,5 điểm ) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Một cửa hàng bán giày thể thao tuần bán 50 đơi giày với giá 500 nghìn đồng đôi Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính giảm giá bán đơi nghìn đồng số giày tuần bán tăng thêm đôi Xác định giá bán để tuần cửa hàng giày thể thao thu lợi nhuận cao nhất, biết giá nhập ban đầu cho đôi giày thể thao 300 nghìn đồng Gọi giá bán thực tế đôi giày để thu lợi nhuận cao là: x (nghìn đồng) (300 < x £ 500) Suy số tiền giảm so với ban đầu 500 - x (nghìn đồng) Lập luận được: Giảm 500 - x (nghìn đồng) bán 500 - x (đơi) Khi đó, tổng số đơi giày bán là: 500 - x + 50 = 550 - x ( 550 - x) x - ( 550 - x) 300 ( 550 - x) x - ( 550 - x) 300 đạt Lập luận để lợi nhuận lớn 0,5 điểm 0,5 điểm Lập biểu thức lợi nhuận thu được: giá trị lớn 0,25 điểm ( 550 - x) x - ( 550 - x ) 300 =- x + 850 x - 165000 =- ( x - 425) +15625 £ 15625 Dấu “=” xảy x = 425 Vậy để thu lợi nhuận lớn giá bán đơi giày 425 nghìn đồng Câu 5.2 (1,5 điểm ) 0,25 điểm Cho đường trịn tâm O , đường kính BC điểm A cố định BC Vẽ tiếp tuyến xy C xy lấy điểm H di động Vẽ đường tròn ( H ; HA) cắt đường ( O) D E Chứng minh đường thẳng DE qua điểm cố định Trang 6/5 x Gọi S giao điểm BC DE, F giao điểm thứ hai BC với D ( H) đường tròn H B O A S C 0,5 điểm F E y Lập luận được: Độ dài AB AC không đổi Nên để chứng minh DE qua điểm cố định, ta chứng cần chứng minh S cố định suy cần chứng minh SA không đổi Chứng minh được: SD.SE = SB.SC (đối với đường tròn tâm O) Chứng minh được: SA.SF = SD.SE (đối với đường tròn tâm H) Suy SA.SF = SB.SC Chứng minh được: CA = CF Lập luận được: SF = AC - SA ; SC = AC - SA; SB = AB + SA 0,5 điểm 0,25 điểm Biến đổi được: SA.( AC - SA) = ( AB + SA) ( AC - SA) Û 2.SA AC - SA2 = AB.AC - AB.SA + AC SA - SA Û SA AC + AB.SA = AB.AC AB AC Û SA = AB + AC khơng đổi (vì AB AC khơng đổi) Vậy DE qua điểm S cố định 0,25 điểm (Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng, giám khảo phân bước cho điểm tương ứng) …………Hết………… Trang 7/5