Thông tin tài liệu
TRƯỜNG THCS ĐĂK Ơ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2023 - 2024 Đề thi môn : Toán - LẦN Thời gian: 150 phút ( khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu (5,0 điểm) x x x x 9 x : x x x x x a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 22 12 Cho biểu thức A Cho x; y thỏa mãn < x < 1; < y < y x + =1 1- x 1- y Tính giá trị biểu thức P = x + y + x - xy + y Cho ba số dương a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c bc c a b a Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: x 17 x x x x 0 2x2 y2 1 2 x 1 Giải hệ phương trình: y 1 3 xy x y 1 Câu 3: ( 5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) trực tâm H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC a) Xác định vị trí điểm M cho tứ giác BHCM hình bình hành b) Với M lấy thuộc cung nhỏ BC; gọi N, E điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng d) Xác định vị trí điểm M thuộc cung nhỏ BC NE có độ dài lớn Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O Một điểm M di động cung nhỏ BC Từ M kẻ MH , MK vng góc AB, AC H AB, K AC Chứng minh MBC đồng dạng MHK Tìm vị trí M để HK lớn Câu (3,0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x 2022 x 2023 y y xy 2023xy 2024 Tìm số nguyên dương cho n 2n n 2n 18 - - - HẾT - - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm số phương TRƯỜNG THCS ĐĂK Ơ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2022 - 2023 Đề thi môn : Toán ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câ u Ý LỜI GIẢI Điểm x x x x 9 x : x x x x x Cho biểu thức A a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa rút gọn biểu thức A x 0 x 0 +) ĐK: x 0 9 x x 3 x 2 0 x x x x x +) A x x 0 x 4 x 9 : ( x 3)( x 3) ( x 2)(2 (2 x )( x 3) x 3 x 0,5 (*) x) 9 x 1,5 x : x 3 3 x x b) Tính giá trị A x 22 12 A 22 12 3 2 2 23 0,5 2 0,5 Cho x; y thỏa mãn < x < 1; < y < y x + =1 1- x 1- y Tính giá trị biểu thức P = x + y + x - xy + y Ta có P = x + y + x - xy + y = x + y + Thay ( x + y) 0,25 - 3xy y x + = Þ x + y - = xy vào biểu thức P ta 1- x 1- y P =x+y+ ( x + y) - ( x + y) + = x + y + ( x + y - 1) = x + y + x +y- =1 0,5 (vì x + y £ ) Giải thích x +y £ Từ giả thiết ta có có ïìï x £1 ïï ïí - x Û ïï y £1 ïï ỵï - y ïìï ïï ïí ïï ïï ïỵ y x ; 1- x 1- y 2x - £0 1- x Þ 2y - £0 1- y số dương mà ìï ïï x £ ïíï ïï ïï y £ ïỵ Þ x+y £ y x + =1 , 1- x 1- y nên ta 0,25 Vậy P =1 Cho ba số dương a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a b c bc c a b a Bất đằng thức ln Ta có bđt phụ sau với x,y,z > ta chứng minh 0,25 1 ( x y z )( ) 9 x y z x y x z y z ( ) ( ) ( ) 6 y x z x z y x y x z y z luon / dung / vi / 2; 2; 2 y x z x z y Dấu = xay x = y = z (*) a b c a b c 1 1 1 b c c a b a b c c a b a 1 1 [(b c) (c a) (b a)][ ] b c c a b a 1 [(b c) (c a) (b a)][ ] 9 b c c a b a Bất đằng thức ln theo BĐT (*) Dấu = xảy a = b = c Giải phương trình x3 17 x x x x 7 PT (1) 3x 3x 0,25 0,25 x 0 0,5 ĐKXĐ: 0,25 x x3 17 x x 12 0 x (3 x 2)( x 6)( x 1) 0 x 18 6 x (3x 2)( x 6)( x 1) 0 3x x 1 x 6 (3x 2)( x 1) 0 x 1 3x (3x 2)( x 1) Vì x 7 nên 3x x 1 Suy x 0 x 6(t / m) KL: PT (1) có nghiệm x 6 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 2x2 y2 1 2 Giải hệ phương trình: y 1 x 1 3xy x y 1 x 1, y xy xy x y 1 xy x 1 y 1 Đặt x y a; b y 1 x 1 0.25 x y y 1 x 1 0,5 0,5 2 a b Giải hệ ta có a b Ta có a b b a Với a=b =1/2 ta tìm ( x,y) = (1;1); 0,5 0,5 Với a=b = -1/2 ta tìm ( x,y) = (-1/3;-1/3) 0,25 KL: Hệ phương trình có nghiệm (1;1); (-1/3;-1/3) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) trực tâm H Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC a) Xác định vị trí điểm M cho tứ giác BHCM hình bình hành b) Với M lấy thuộc cung nhỏ BC; gọi N, E điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng d) Xác định vị trí điểm M thuộc cung nhỏ BC NE có độ dài lớn A E K 1 H B N O C M a) Xác định vị trí điểm M cho tứ giác BHCM hình bình hành Ta có: BH AC; CH AB (vì H trực tâm tam giác ABC) Tứ giác BHCM hình bình hành BH // MC CH // MB AC MC AB MB AM đường kính (O) M điểm đối xứng A qua O b) Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp N (T/c đối xứng trục) Ta có: M 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 C (góc nội tiếp chắn cung AB) M 1 1800 N1 C1 , mà AHB C 180 Tứ giác NAHB nội tiếp Do đó: AHB N c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng A , mà A A (T/c đối xứng trục) H A Tứ giác NAHB nội tiếp H 1 2 Chứng minh tương tự, ta có: H A 4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: BAC BHC 1800 H CHB Do đó: NHE = BAC H A2 A3 CHB BHC 1800 N, H, E thẳng hàng d) Xác định vị trí điểm M thuộc cung nhỏ BC NE có độ dài lớn Ta có: NAE Kẻ AK NE K 2 BAC Ta có: AM = AN; AM = AE (Tính chất đối xứng trục) AE = AN ANE cân Mà: AK đường cao AK trung tuyến, phân giác NE NAE 2 NAK ; NE 2 NK NK Do đó: BAC NAK Tam giác KAN vuông K NK = AN.sin NAK Do đó: NE = 2AN sin NAK = 2AM.sin BAC (vì AM 2 R; sin BAC : 2 R.sin BAC Khơng đổi) Do đó: NE lớn AM lớn AM đường kính đường tròn (O) M đối xứng với A qua O Vậy M điểm đối xứng A qua O NE lớn 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O Một điểm M di động cung nhỏ BC Từ M kẻ MH , MK vng góc AB, AC H AB, K AC A O B H K C M Chứng minh MBC đồng dạng MHK +) Tứ giác AHMK nội tiếp suy MBC MAC MHK 0,50 0,50 +) Tứ giác ABMC nội tiếp suy MCB MAB MKH +) Suy MBC đồng dạng MHK 0,25 0,50 Tìm vị trí M để HK lớn BC MB BC 1 BC HK mà MB MH HK MH HK Đẳng thức xảy H trùng B ABM 900 hay M đối xứng với A qua O CM câu suy 0,50 0,25 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x 2022 x 2023 y y xy 2023xy 2024 (1) 1 x 2022 x 2023 2023 y x 1 y x 1 1 x 1 x 2023 2023 y y 1 0,25 0,25 Vì x,y nguyên nên thừa số vế trái ước ta có hai trường hợp: x 2 x 2 2024 y 1 y 1 y 2023 l x 0 x x 0 2024 +) x 2023 2023 y y y 1 y l y 1 2023 Vậy phương trình có hai nghiệm: 2;1 , 0;1 x 1 +) x 2023 2023 y y 1 0,50 0,50 Tìm số nguyên dương cho n 2n n 2n 18 số phương Do n 2n n 2n 18 số phương nên nhiên Đặt n 2n 18 = k2 (k số tự nhiên) n 2n 18 k (k n 1)(k n 1) 17 k 9 n 7 n 2n 18 số tự 0,50 0,75 KL: n = thỏa mãn toán 0,25 - - - HẾT - - -
Ngày đăng: 03/11/2023, 11:37
Xem thêm:
