Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của D trên cạnh AB và AC.. Chứng minh rằng FE // GH..[r]
(1)KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2009 - 2010
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM
Mơn thi : TỐN
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 02/4/2010
Câu (3,0 điểm)
Rút gọn biểu thức 1
2
A = − + + + − −
+ + −
Câu (4,0 điểm)
a Giải hệ phương trình:
( )( )
2
1 8
1 1 7 2
x x y y
x y x y
+ + + =
+ + =
b Giải phương trình 2(x +1)4 −(2x −1)(3x2 +1 0x +1)= 0 Câu (4,0 điểm)
a Chứng minh với số tự nhiên dương n, giá trị biểu thức
2
4 1
3 2 1 1
n M
n n n
= +
+ − +
không thể số tự nhiên
b Tìm nghiệm nguyên phương trình:
x2+3y2+2xy−18(x+y)+73 0= Câu (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, có diện tích S, đường cao AD, BE, CF Gọi G, H hình chiếu D cạnh AB AC
a Chứng minh FE // GH
b Chứng minh DA.PF.PC = PA.DB.DC, với P trực tâm ∆ABC c Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC bán kính đường trịn nội tiếp ∆DEF
Hãy tính diện tích ∆DEF theo S, R, r Câu (2,0 điểm)
Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn abc =
Chứng minh 3 3 3
1 1
1
1 1
a +b + + b +c + + c + a + ≤
Đẳng thức xảy nào?
===== Hết=====
(2)1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP THCS
Câu Rút gọn biểu thức 3.0 Câu 2.b Giải phương trình 2.0
+ PT cho tương đương với:
( 2 )2 ( ) ( 2 ) ( )
2x+ + − −2 1x 3x x + + +2 2 1x x− =
( 2 ) (2 2 )( ) ( )2
2x 1x 3x 2 2 1x x x
⇔ + + − + + − − − =
2
2
2
2
2
x x x x
x x
+ + + +
⇔ − − =
− −
(Vì x = ½ khơng nghiệm pt cho) + Đặt
2 2 1
2 x x t
x
+ +
=
− , ta có pt: 2t2 – 3t – =
Tìm nghiệm t = 2, t = - ½ + Với t = 2, ta có pt:
x2 - 2x +3 = : pt vô nghiệm + Với t = - ½ , ta có pt:
2x2 + 6x + = x = − ± + Tập nghiệm pt cho: {
2
− ± }
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25
Câu 4.0
a C/m biểu thức không số tự nhiên 2.0
+ 11 2− = (3− 2)2 = −3
+ ( 14 5)
+ + − = + + −
= (1 5) (2 5)2
2
+ + −
= (1 5) 2
2 + + − = =
+ Biểu thức tử A: 3− 2+2 2− =3
+ 14 ( 28 10 3)
+ + − = + + −
= (1 3)2 (5 3)2
+ + −
= (1 3)
2 + + − = =
+ Tính A = 2 =
0.25 0.5
0.5 0.25
0.25 0.25
0.5
0.25
0.25
Câu 4.0
a Giải hệ phương trình 2.0
+ M =
( )( )
2
4
3 1
n
n− n+ +n+ =
( )( )
2
4
3 1
n n n
n n n
+ − = −
− + −
+ Giả sử M số tự nhiên với số tự nhiên n Suy ra:
(4n–1) (3n–1), ∀n
⇒ (12n –3) (3n – 1), ∀n
Mặt khác: (12n – 4) (3n – ) , ∀n
Suy ra: [(12n –3) - (12n – 4)] (3n -1),∀n
Hay (3n – 1) , ∀n (vô lý)
Vậy M số tự nhiên (đpcm)
0.25
0.5
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
b Tìm nghiệm nguyên 2.0
+ Hệ pt cho viết lại sau:
( )( )
2
2
18 72 x x y y
x x y y
+ + + =
+ + =
(1) + Đặt u = x2+x, v = y2+y Ta có hệ pt: 18
72 u v u v
+ =
=
(2) Suy u,v nghiệm pt:
X2 – 18X + 72 =
Phương trình có hai nghiệm: X = 6, X = 12 + Hệ (2) có nghiệm (u,v)∈{(6;12), (12;6)} + Với u = 6, v = 12, ta có hệ pt:
2
2
6
12 12
x x x x
y y y y
+ = + − =
⇔
+ = + − =
Tìm x = 2, x = -3 ; y = 3, y = - +Tương tự, với u = 12 , v = 6, tìm : x = 3, x = - ; y = 2, y = -3 + Kết luận tập nghiệm hệ pt cho:
{(2;3),(2;-4),(-3;3),(-3;-4),(3;2),(3;-3),(-4;2),(-4;-3)}
0.25
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
+ Phương trình cho tương đương với: x2+2x y( −9) (+ y−9)2 = −8 2y2 ⇔(x+ −y 9)2= −8 2y2 (*) + Pt (*) có nghiệm nguyên khi: y∈Ζ, – 2y2 ≥
⇒ y∈Ζ y ≤2 ⇒ y ∈ { 0, - 1, 1, -2, }
0.25 0.25
(3)2
Câu b Tìm nghiệm nguyên (tiếp theo) Câu 4.c (tiếp theo)
+ Với y = 0, ta có: ( x + y – )2 = ( loại ) + Với y = ± 1, ta có: ( x + y – )2 = ( loại ) + Với y = ± 2, ta có: ( x + y – )2 =
- Nếu y = x = (thỏa) - Nếu y = -2 x = 11 (thỏa) Vậy nghiệm nguyên (x; y) cần tìm: ( 7; 2), (11; - 2)
0.25 0.25
0.25 0.25
Câu 7.0
a CMR: FE // GH 2.5
+dt(ABC)=dt(AEOF)+dt(BDOF)+dt(CDOE) (*) + dt(AEOF) = dt(AOE) + dt(AOF) =
2 OA.EF + Tương tự, dt(CEOD) =
2OC.ED dt(BDOF) =1
2OB.DF +Thay vào (*):
dt(ABC) =1
2R(EF + FD + DE) (7) +Do r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác DEF, nên dễ dàng c/m được:
dt ( DEF) =
2r (EF + FD + DE) (8) + Từ (7) (8) suy ra:
dt (DEF) = S r R
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu Chứng minh bất đẳng thức 2.0
t
P
K G
H F
E
D O A
B C
+ Chứng minh tứ giác AGDH nội tiếp ⇒ ∠ADG = ∠AHG (3) + Tam giác vuông ADB, đường cao DG, có: ∠ABC = ∠ABD = ∠ADG (4) + Từ (3), (4) , suy ∠AHG =∠ABC (*) + Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp ⇒ ∠FBC =∠ABC= ∠AEF (**) + Từ (*) (**), suy ra: ∠AHG =∠AEF Vậy EF // GH (đpcm)
0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
b C/m đẳng thức 1.5
+ Gọi K giao điểm tia AD với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
+C/m ∆DBA~∆DKC=>DA.DK=DB.DC (5) +C/m ∆PDC~∆PFA=>PD.PA=PF.PC Và c/m D trung điểm PK=>PD=DK Suy ra: DK.PA= PF.PC (6)
+Chia (5) cho(6): DA.PF.PC=PA.DB.DC
0.25 0.25 0.25 0.25 0.5
c Tính dt(DEF) theo S, R, r 3.0
+ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC +Kẻ tiếp tuyến At, ta có:
∠CAt = ∠ABC (cùng chắn cung nhỏ AC) +Mặt khác: ∠ABC = ∠AEF (cmt) +Suy ra: ∠CAt = ∠EAt = ∠AEF
⇒ At // EF (so le trong) Mà At ⊥ OA
Suy OA ⊥ EF
+ Tương tự, suy ra: OB ⊥ DF, OC ⊥ DE
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
+ Ta có: a2 – ab + b2 ≥ ab, ∀a, b ≥ ⇒ (a+b)( a2
– ab + b2) ≥ ab(a+b), ∀a, b ≥ ⇒ a3
+b3+1 ≥ ab(a+b+c), ∀a, b, c ≥ (vì abc = 1) ⇒ a3 b3 1 a+b+c 0
c
+ + ≥ > , ∀a, b, c ≥ (vì abc = 1) ⇒ 3 13
1 c
a +b + ≤ a b c+ + (9) + Tương tự, ta chứng minh được:
3 13
a
b +c + ≤a b c+ + (10) 3 13
1 b
c +a + ≤a b c+ + (11) + Cộng vế theo vế (9), (10) (11):
3 3 3
1 1 1
1
1 1 1
a + +b +b + +c +c + +a ≤
(đpcm) + Nêu đẳng thức xảy a = b = c =
====//====
Ghi chú: Nếu HS có cách giải khác
mà Ban giám khảo mơn Tốn thảo luận thống biểu điểm phù hợp với thang điểm nêu trong hướng dẫn chấm này./.
0.25 0.25 0.25
0.25
0.25
0.25
0.25