Thí sinh không được sử dụng tài liệu... Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ
Đề thức
Số báo danhKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011
Môn thi: Toán
Lớp: THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu I (5,0 điểm)1) Cho phương trình:x2 2m x2m 1 Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x x1, với m Tìm giá trị lớn biểu thức
12
22
1212
23
2(1)
xx
P
xxxx
m thay đổi.
2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn
1 1
a b c Chứng minh A a2 b2 c2
số hữu tỉ
(b) Cho ba số hữu tỉ x y z, , đôi phân biệt Chứng minh rằng:
2
1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
số hữu tỉ.
Câu II (5,0 điểm).1) Giải phương trình:
2
10
1
x x
x x
2) Giải hệ phương trình:
2
2
1
1
1
x x
y y
x x
x
y y y
Câu III (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm D, E thuộc cạnh AC, AB, cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC Tính BPE
Câu IV (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định (O AB ) P điểm di động
trên đoạn thẳng AB (PA B, P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N (N P).
1) Chứng minh ANP BNP bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn.
2) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Câu V (4,0 điểm)
1) Cho a a1, , ,2 a45 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1a2 a45 130 Đặt , ( 1, 2, , 44)
j j j
d a a j Chứng minh 44 hiệu dj xuất ít
nhất 10 lần
2) Cho ba số dương a b c, , thoả mãn: a2b2 b2c2 c2a2 2011
Chứng minh rằng:
2 2 1 2011
2
a b c
b c c a a b
(2)Cán coi thi khơng giải thích thêm. SỞ GD & ĐT THANH HỐ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm có trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MƠN THI: TỐN
LỚP: THCS
Ngày thi: 24 - - 2011
Câu Ý
Hướng dẫn chấm
ĐiểmCâu I
6 đ 2,5đ Ta có 1)
2
' (m 1) 0, m
nên phương trình có hai nghiệm với m. 0,5
Theo định lí viet, ta có x1x2 2 ,m x x1 2m 1, suy
4
4
m P
m
(3)2
2 (2 1)
1 1,
4 m Max P m
1
m 1,0
2a)
1,5đ Từ giả thiết suy 2ab 2bc 2ca0 0,5
Suy A (a b c )2 a b c số hữu tỉ 1,0 2b)
1,0đ
Đặt
1 1
, ,
a b c
x y y z x z
suy
1 1
a b c
0,5
Áp dụng câu 2a) suy 2
1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
số hữu tỉ.
0,5
Câu II
6 đ 2,5đ1) Đk:
1
x Phương trình tương đương với
2 2 2 2
2 2
10 2 10
2
1 1 1
x x x x x
x x x x x
1,0 Đặt 2 , x t x
ta phương trình
2 10 0
9
t t t
t 0,5
Với , t ta 2 x
x (vô nghiệm)
0,5 Với , t ta 2 2 x
x suy
1
x 0,5
2) 2,5đ
Đk: y0 Hệ tương đương với 2 3 1 1 x x y y x x x
y y y
0,5 Đặt , u x y x v y
ta hệ
2
3
2 4
1
2 4
u u v u u u
v
u uv u u v
1,0 Với 1, u v
ta
1 1 x x y x y y
(thoả mãn điều kiện)
1,0
Câu III
2đ
Kẻ EF AC F, DG BC G
Theo giả thiết S(ADPE) S(BPC) S(ACE) S(BCD)
0,5
Mà AC BC EF DG A C
Suy AEF CDG AE CG
0,5
(4) 600
BPE PBC PCB PCD PCB
0,5
Câu IV
4,0đ
1)
3,0đ Gọi Q giao điểm tiếp tuyến chung (O) với (C), (D) A, B tương ứng
Suy ANP QAP QBP BNP
1,0
0,5
0,5 Ta có
ANBANP BNP QAP QBP
180 AQB
, suy NAQB nội tiếp (1).
Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2) Từ (1) (2) suy điểm O, N, A, Q, B nằm đường tròn
Suy điểm O, N, A, B nằm đường trịn
0,5
Ta có OCN 2OAN 2OBN ODN ,
suy bốn điểm O, D, C, N nằm
đường tròn 0,5
2) 1,0đ
Gọi E trung điểm OQ, suy E cố định E tâm đường tròn qua điểm N, O, D, C Suy đường trung trực ON qua điểm E cố định
1,0
Câu V 2đ 2,01)
đ
1 44 ( 1) ( 2) ( 45 44) 45 130 129
d d d a a a a a a a a (1) 0,5
Nếu hiệu dj (j 1, 2, , 44) xuất khơng q 10 lần
1 44 9(1 4) 8.5 130
d d d mâu thuẫn với (1).
Vậy phải có hiêụ dj (j1, ,44) xuất khơng 10 lần
1,5 2)
2,0đ Ta có
2 2
2(a b ) ( a b ) .
Suy
2 2 2
2 2 2
2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a c a
0,5
Đặt x b2c2, y c2a z2, a2b2,
suy
2 2 2 2 2
2 2 2
y z x z x y x y z
VT
x y z
2 2
1 ( ) ( ) ( )
2 2
2
y z z x x y
x y z
x y z
1,0 A
O N
C D
B P
(5)2 2
1 ( ) ( ) ( )
2 3
2 2
2
y z z x x y
x x y y z z
x y z
1
2( ) 2( ) 2(
2 y z x z x y x y z
Suy
1 2011
( )
2
2
VT x y z
0,5