Đề và đáp án thi HSG Toán Vòng 3

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 3 NĂM HỌC 2009-2010 MÔN: TOÁN 9 Thời gian:150 phút(Không kể thời gian giao đề) Câu 1: Giải các phương trình sau a) 11 2 −=+ xx b) 112 3 =−+− xx Câu 2: a)Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x,y thoả mãn: 531531 −+−+−=+++++ yyyxxx b)Tìm tất cả các số dương x,y,z thoả mãn:      =++ ≤++ 3 941 12 zyx zyx Câu 3: Mỗi cô gái trong nhóm 50 cô gái có tóc nâu hay tóc vàng và mắt xanh hay mắt nâu.Nếu có 14 cô tóc nâu mắt xanh,31 cô gái tóc vàng và 18 cô gái mắt nâu thì có bao nhiêu cô gái tóc vàng mắt nâu. Câu 4: For a, b, c are positive numbers satisfying: a + b + c = 3. Prove that: 2 3 22 3 22 3 22 3 ≥ + + + + + ac c cb b ba a . Câu 5: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh a vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I.Chứng minh rằng 222 111 aAIAM =+ Câu 6: Một tam giác có số đo các đường cao là những số nguyên và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1.Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN 9 Câu Nội dung trình bày Điểm 1 a ( ) ( ) ( )       =−−+ −≤≥ ⇔ −=+ ≥− ⇔−=+ 011 1;1 11 01 11 2 2 2 2 2 xxxx xx xx x xx 1 −=⇔ x hoặc 2 51+ =x 0.75đ b ĐK: 1 ≥ x ;Đặt    −= −= 1 2 3 xv xu Khi đó ta có:             = −=    = =    = =    ⇔ =+ =+ 3 2 0 1 1 0 1 1 23 v u v u v u vu vu Trở lại cách đặt ta được: 1/ ⇔    = = 1 0 v u 2 11 02 3 =⇔    =− =− x x x 2/ ⇔    = = 0 1 v u 1 01 12 3 =⇔    =− =− x x x 3/ ⇔    = −= 3 2 v u 10 31 22 3 =⇔    =− −=− x x x 0.25 0.25 0.25 2 a ĐK: 5;1 ≥−≥ yx +)Nếu x+1>y-5 => x+3>y-3;x+5>y-1.Khi đó VT>VP +)Nếu x+1<y-5 => x+3<y-3;x+5<y-1.Khi đó VT<VP Từ đó ta suy ra x+1=y-5 hay x-y=-6 (1) Nghiệm nguyên tổng quát của (1) có dạng Zt ty tx ∈    += = ; 6 với điều kiện 5;1 ≥−≥ yx ,để nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm nguyên dương thì ta phải có 1≥t .Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho có dạng 1,; 6 ≥∈    += = tZt ty tx . 0.25 0.25 0.25 0.25 b Từ giả thiết ta suy ra 6 4 941 ≤ ++ +++ zyx zyx (1) Mặt khác ta có: 1 4 . 1 2 4 1 =≥+ x x x x ; 2 4 4 ≥+ y y ; 3 4 9 ≥+ z z Do đó ta có 6 4 941 ≥ ++ +++ zyx zyx (2)Do vậy để (1) xảy ra thì ta phải có: 6 4 941 = ++ +++ zyx zyx hay      = = = ⇔          = = = 6 4 2 4 9 4 4 4 1 z y x z z y y x x 0.25 0.25 0.25 0.25 3 Mỗi cô gái trong 50 cô gái phải thuộc 1 trong 4 nhóm sau: 1.tóc nâu mắt xanh 2.tóc nâu mắt nâu 3.tóc vàng mắt xanh 4.tóc vàng mắt nâu. Gọi x,y,z,t là số cô gái thuộc các nhóm 1,2,3,4.Khi đó ta có hệ phương trình        =+ =+ = =+++ 18 31 14 50 ty tz x tzyx 13=⇒ t 1.5 4 We have: 22 2 22 2 22 3 b a ab ab a ba ab a ba a BCS −=−≥ + −= + . Similarly we have.: 2 ; 2 22 3 22 3 a c ac cc b cb b −≥ + −≥ + Thus we have.: 2 3 2 22 3 22 3 22 3 = ++ ≥ + + + + + cba ac c cb b ba a . Sign "=" occurs if and only if a = b = c = 1. 0.5 0.5 0.5 5 Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt DC kéo dài tại K. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác AKI ta có: 222 111 AIAKAD += . Mặt khác do AMBAKD ∆=∆ (cạnh góc vuông,góc nhọn) do đó suy ra AMAK = . Do vậy ta có 222 111 AIAMa += 0.5 0.5 0.5 0.5 6 Gọi x,y,z lần lượt là các đường cao tương ứng vứi các cạnh a,b,c của tam giác ABC.Ta có:S ABC = ( ) 1 1 1 1 ax 2 2 2 2 by cz a b c r= = = + + .Thay r=1 ta được ax=by=cz=a+b+c. (*) Từ ax=a+b+c 1 2 a b c b c x a a + + + ⇒ = = + > .Chứng minh tương tự ta được y>2,z>2.Mặt khác từ: ax 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 by cz a b c a b c a b c a b c x y z x y z a b c x y z a b c = = = + + + + ⇒ = = = = + + + + + + ⇒ + + = = + + . Không mất tính tổng quát giả sử x y z≤ ≤ .Khi đó 1 1 1 3 1 3z x y z z = + + ≤ ⇒ ≤ .Mà z>2 nên z=3.Thay z=3 vào hệ thức ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 3 9 3 x y x y z x y + + = ⇒ + = ⇒ − − = .Vì x,y nguyên nên ta có: 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 1 2 2 3 9 9 x x y y x x y y   − = =       − = =     ⇔   − = =       − = =       Trường hợp x=2;y=9 bị loại nên ta có x=y=z=3.Do đó a=b=c (theo *) Vậy tam giác ABC đều. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 . 1 3 1 3z x y z z = + + ≤ ⇒ ≤ .Mà z>2 nên z =3. Thay z =3 vào hệ thức ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 3 9 3 x y x y z x y + + = ⇒ + = ⇒ − − = .Vì x,y nguyên nên ta có: 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 1 2 2 3. xanh ,31 cô gái tóc vàng và 18 cô gái mắt nâu thì có bao nhiêu cô gái tóc vàng mắt nâu. Câu 4: For a, b, c are positive numbers satisfying: a + b + c = 3. Prove that: 2 3 22 3 22 3 22 3 ≥ + + + + +. THCS TAM ĐẢO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 3 NĂM HỌC 2009-2010 MÔN: TOÁN 9 Thời gian:150 phút(Không kể thời gian giao đề) Câu 1: Giải các phương trình sau a) 11 2 −=+ xx b) 112 3 =−+− xx Câu