Đề và đáp án thi HSG Toán 9 vòng 1

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I NĂM HỌC: 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. a. Phân tích Q thành nhân tử: 5 2 2 2 10Q x x x= + − − b. Tính Q khi biết 13 4 10x = − Câu 2. Cho hàm số: 2 1y x m= − − ; với m tham số. a. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. b. Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của m để 2 2 OH = b. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB. Câu 3. a. Giải phương trình: 1 2 2 1 5 2x x x x− + − + + = − b. Cho ;a b là hai số dương thỏa mãn: 2 2 6a b+ = . Chứng minh: 2 3( 6) ( ) 2a a b + ≥ + c. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2008 2009 2010 0x xy x y+ − − − = Câu 4. Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB. a. Tính · · · · 2 2 2 2 sin sin sin sinMBA MAB MCD MDC+ + + b. Chứng minh: 2 (2 )OK AH R AH= − c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất. Hết./. ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang) PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm 1 a ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 2 2 10 5 2 2 5 5 2 2 Q x x x x x x x x = + − − = + − + = + − 0,5 0,5 2,0 b 13 4 10x = − 2 8 2.2 2. 5 5 (2 2 5) 2 2 5x⇒ = − + = − = − Vậy: ( ) ( ) 2 2 5 5 2 2 5 2 2 2 2.( 5) 2 10Q = − + − − = − = − 0,5 0,5 2 a 2 1y x m= − − ; với m tham số Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì 1 2 1 0 2 m m− − = ⇔ = − 0,25 2,0 b Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A ( ) 2 1;0m + Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B ( ) 0; 2 1m− − Ta có: ∆ AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: 2 2 2 1 1 1 OH OA OB = + Hay 2 2 2 0 1 1 2 2 2 1 (2 1) A B m m x y m =  = + ⇔ = ⇔  = − +  0,5 0,5 c Hoành độ trung điểm I của AB: 2 1 2 2 A B I x x m x + + = = Tung độ trung điểm I của AB: (2 1) 2 2 A B I y y m y + − + = = Ta có: I I y x= − ⇒ Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường thẳng y x= − 0,5 0,25 3 a Điều kiện: 2x ≥ ( ) 2 2 1 2 2 1 5 2 2 2 2 1 1 5 2 2 1 1 5 2 0 2 1 1 5 2 0 2 4 2 4 0 ( 2 2) 0 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − + + = − ⇔ − + − + + + = − ⇔ − + + + − − = ⇔ − + + + − − = ⇔ − − − + = ⇔ − − = ⇔ = > Vậy nghiệm của pt là: 6x = 0,2 0,2 0,3 0,3 2,5 b Với ;a b là hai số dương ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2. . .1 2 1 2 2 a b a b a b     + = + ≤ + +  ÷  ÷     (Theo Bunhiacopski) ( ) ( ) 2 2 3 6 2 a b a⇔ + ≤ + (Vì 2 2 6a b+ = ) Hay 2 3( 6) ( ) 2a a b+ ≥ + 0,25 0,25 ĐỀ CHÍNH THỨC c 2 2 2008 2009 2010 0 2009 2009 2009 1 x xy x y x xy x x y + − − − = ⇔ + + − − − = ( 1) 2009( 1) 1 ( 2009)( 1) 1x x y x y x x y⇔ + + − + + = ⇔ − + + = 2009 1 2010 1 1 2010 2009 1 2008 1 1 2010 x x x y y x x x y y  − =  =       + + = = −     ⇔   − = − =       + + = − = −       0,25 0,5 0,25 H K D C AO B M 0,25 3,5 4 a Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên: · · · · 2 2 2 2 sin sin sin sinMBA MAB MCD MDC+ + + = · · · · 2 2 2 2 (sin os ) (sin os )MBA c MBA MCD c MCD+ + + = 1 + 1 = 2 0,75 b Chứng minh: 2 (2 )OK AH R AH= − Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH 2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK 2 = MH 2 = AH(2R- AH) 0,5 0,5 c P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R 2 .OH.MH(Vì MK = OH) Mà OH.MH 2 2 2 2 2 2 2 OH MH OM R+ ≤ = = (Pitago) Vậy 2 2 4 4 . 2 2 R P R R≤ = . đẳng thức xẩy ra ⇔ MH = OH ⇔ OH = 2 2 R 0,25 0,25 0,25 0,25 . + 0,25 0,25 ĐỀ CHÍNH THỨC c 2 2 2008 20 09 2 010 0 20 09 20 09 20 09 1 x xy x y x xy x x y + − − − = ⇔ + + − − − = ( 1) 20 09( 1) 1 ( 20 09) ( 1) 1x x y x y x. ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang) PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2 010 - 2 011 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 12 0