Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN NAM TRỰC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 2023 Môn Toán 9 Thời gian làm bài 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1 (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức 2)[.]
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN NAM TRỰC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài (4,0 điểm) A 1) Rút gọn biểu thức: 3 3 3 2 3 x2 x x1 P : x x x x 1 x 2) Cho biểu thức: , với x 0; x 1 Hãy so sánh P 2P Bài (4,0 điểm) 2 2 1) Cho x; y 1 thỏa mãn: x y y x 1 Chứng minh x y 1 2( x 1) x ( x x ) x 2) Giải phương trình: Bài (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường thẳng d (khơng qua tâm O ) cắt đường trịn (O) hai điểm B C Kẻ đường kính CD đường tròn (O) Tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt đường thẳng d A Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADO cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E cắt BC điểm I 1) Chứng minh: AE tiếp tuyến đường tròn (O) I trung điểm BC 1 2) Gọi T giao điểm DE BC Chứng minh: AT AB AC 3) Chứng minh rằng: DE , OI tiếp tuyến C đường tròn (O) đồng quy Bài (3,0 điểm) 2 1) Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn phương trình: x x y 19 2 2) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn m 2023n 2022 chia hết cho mn Chứng minh rằng: m, n hai số lẻ nguyên tố Bài (3,0 điểm) x 0; y ; z 5 1) Cho x, y, z số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện: y2 z2 x 12 Tìm giá trị lớn biểu thức T xy x xz z z 2) Trên bảng ghi bốn số: 2,3,5 Ta thực trò chơi sau: Mỗi lần xóa hai số 2 2 bất kì, chẳng hạn a, b thay hai số a b a b a b a b , đồng thời giữ nguyên hai số lại Hỏi sau số lần thay đổi có ta thu bốn số bảng nhỏ hay khơng? Vì sao? -Hết HƯỚNG DẪN CHẤM I Những điều cần lưu ý: - Các cách giải khác cho điểm tương đương - Điểm ý không chia nhỏ 0,25 điểm - Điểm toàn giữ nguyên khơng làm trịn II Nội dung Câu Bài (4,0đ) Nội dung 3 3 A 3 3 1) Rút gọn biểu thức: Điểm x2 x x1 P : x x x x 1 x 2) Cho biểu thức: , với x 0; x 1 Hãy so sánh P 2P Rút gọn biểu thức: A 3 3 2 62 2 6 1) 0,25 3 3 3 3 0,5 0,5 5) (3 5) 7 9 (3 0,25 A 7 Với x 0; x 1 , ta có: P 2) x2 x x x x x x 1 x ( x 1) x ( x x 1) ( x 1)( x x 1) x1 x2 x x x x ( x 1)( x x 1) x1 x x 1 ( x 1)( x x 1) x x1 0,5 0,25 0,25 ( x 1)( x x 1) x x 1 x 1 x x1 0,25 0,25 Chứng minh P 2 0,5 0,25 0,25 P( P 2) 0 P 2 P Dấu “=” xảy x 0 KL: Vậy P 2 P Bài (4,0đ) 2 2 1) Cho x; y 1 thỏa mãn: x y y x 1 Chứng minh: x y 1 2) Giải phương trình: 2( x 1) x ( x x ) x 2 2 Ta có: x y y x 1 x y y x 0 x 1 y2 1) y x2 x y 0 y x 0 0 x y y x x 1 y x y 1 y 1 x (đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 a b2 ab Ghi chú: Có thể sử dụng BĐT dạng để đánh giá x y y x2 x2 1 y y 1 x2 1 2 x y x 1 y x y 1 2 y 1 x y 1 x Đẳng thức xảy x Điều kiện: a x (a, b 0) a b 2 b 1 x Đặt , phương trình trở thành: 2) 0,5 2a (a b) a b ab 2a a b3 a b3 a b x x x 0 (thỏa mãn) KL: Phương trình có tập nghiệm S {0} Suy ra: Bài (6,0đ) 0,25 Cho đường tròn (O) đường thẳng d (không qua tâm O ) cắt đường tròn (O) hai điểm B C Kẻ đường kính CD đường trịn (O) Tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt đường thẳng d A Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADO cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E cắt BC điểm I 0,5 0,5 0,25 1) Chứng minh: AE tiếp tuyến đường tròn (O) I trung điểm BC 1 1) 2) Gọi T giao điểm DE BC Chứng minh: AT AB AC 3) Chứng minh rằng: DE , OI tiếp tuyến C đường tròn (O) đồng quy D O H d B A T C I E P 1) AD tiếp tuyến (O) D AD OD ADO vuông D ADO nội tiếp đường trịn đường kính AO E đường trịn đường kính AO AEO vng E AE OE Xét (O) có: AE OE E OE bán kính (O) AE tiếp tuyến (O) E I đường trịn đường kính AO AIO vuông I OI AI OI BC Xét (O) có: OI dây BC I I trung điểm BC Gọi H giao điểm AO DE Cm được: AO DE tai H C / m được: AD AH AO (1) C / m được: AD AB AC C / m được: AH AO AT AI (2) 2) Từ (1), (2) (3) suy ra: AT AI AB AC AI 2 AI AT AB AC AT AB AC AI AI AB IB AC IC AB AC AB AC (3) 0,5 1,0 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 AB AC ( IB IC ) AB AC 1 AB AC (đpcm) Gọi P giao điểm DE OI C / m được: OHP ∽ OIA OH OA OI OP C / m được: OH OA OD OC 3) Từ (4) (5) suy OC OI OP 0,25 0,5 0,25 (4) (5) OI OC OC OP O, 0,25 OI OC OC OP Xét OIC OCP có: chung góc Do OIC OCP đồng dạng 0,5 0,25 OCP OIC 90 CP OC Xét (O) có: CP OC C , C (O) PC tiếp tuyến (O) C Vậy DE , OI tiếp tuyến C đường tròn (O) đồng quy điểm Bài (3,0đ) 2 1) Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn phương trình: x x y 19 2 2) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn m 2023n 2022 chia hết cho mn Chứng minh rằng: m, n hai số lẻ nguyên tố 2 Giả sử tồn ( x; y ) nguyên thỏa mãn phương trình x x y 19 Ta có: 0,25 x x y 19 2( x 1) 3 y (*) 2 Từ (*) suy y 0 y 7 1) 0,25 (1) 3 y2 : (*) Từ suy ra: mà (3, 2) 1 nên y : y lẻ (2) 0,25 0,25 0,25 Từ (1) (2) ta y 1 2( x 1) 3 (7 1) ( x 1) 9 x {2; 4} Thử lại ta thấy (2;1), (2; 1),( 4;1), ( 4; 1) cặp số nguyên thỏa mãn 2 Nếu m, n hai số chẵn m 2023n 2022 không chia hết cho mn chia 2 hết cho suy m 2023n 2022 không chia hết cho mn (loại) 2 Nếu m, n khác tính chẵn lẻ m 2023n 2022 lẻ mn chẵn, 0,25 0,25 0,5 0,5 m 2023n 2022 không chia hết cho mn (loại) Vậy mn số lẻ 2) m 2023n d ( m, n) d 2 2 mn d Gọi mà m 2023n 2022 : mn nên 2022: d Mặt khác 2022 2.3.337 tức 2022 khơng có ước phương ngồi 1, d 1 d 1 (m, n) 1 0,5 Vậy m, n hai số nguyên tố x 0; y ; z 5 1) Cho x, y, z số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện: Bài (3,0đ) y2 z2 x 12 Tìm giá trị lớn biểu thức T xy x xz z z 2) Trên bảng ghi bốn số: 2,3,5 Ta thực trò chơi sau: Mỗi lần 2 xóa hai số bất kì, chẳng hạn a, b thay hai số a b a b a b , đồng thời giữ nguyên hai số lại Hỏi sau số lần thay đổi có ta thu bốn số bảng nhỏ hay khơng? Vì sao? Áp dụng bất đăng thức AM-GM : x 2y xy x x (2 y 3) z x 8 xz z z ( x 8) 4 z z 4( z 5) Cộng vế BĐT ta được: T x y z (1) a b 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 Áp dụng BĐT Bunhiacopski: y z y2 z2 ( x y z ) 1.x (1 9) x 12.12 144 3 x y z 12 (2) Từ (1) (2) suy T 14 Dấu "=" xảy x 1; y 2; z 9 Vậy T có GTLN 14 x 1; y 2; z 9 Ghi chú: Có thể đánh giá x y z đánh giá: x x2 1 y2 z 81 ;y ;z 18 Nếu bốn số ghi bảng a, b, c, d tổng nghịch đảo chúng 1 1 a b c d 2 Khi xóa hai số chẳng hạn a, b thay hai số a b a b a b a b , đồng thời giữ nguyên hai số lại, bốn số bảng là: a b a b2 ; a b a b ; c; d 0,5 0,25 0,25 Ta có: a b a2 b2 1 2) a b2 a b 2 a b a b2 a b a b2 1 a b ( a b) a b 1 1 1 c d a b c d a b 2 a b Khi đó: a b a b Như sau lần thay đổi tổng nghịch đảo bốn số cho không đổi 1 1 4 Mặt khác với bốn số 2,3,5, bảng Giả sử sau số lần thay đổi ta thu bốn số x; y; z ; t bé Khi ta 1 1 4 có x y z t Điều dẫn mâu thuẫn Do sau q trình thay đổi ta thu bốn số bé Ghi chú: Ta giải tốn theo cách khác sau: 2 Khi xóa hai số chẳng hạn a, b thay hai số a b a b a b a b , đồng thời giữ ngun hai số cịn lại, bốn số bảng là: a b a b2 ; a b a b ; c; d 2 2 Khi ta a b a b a b a b c d a b c d Như sau lần thay đổi ta thu bốn số có tổng lớn bốn số cũ Do a b a b a b a b c d 16 Vì khơng thể tồn bốn số nhỏ 0,5 0,25 0,25