Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 Trang 1 Tỉnh Lào Cai SỞ GD&ĐT LÀO CAI KỲ THI CHỌN HSG CẤP[.]
Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYẾN TẬP ĐÈ HỌC SINH GIỎI CÁP TINH — NAM 2022-2023 Hoc sinh gidi ( ) Tỉnh Lào Cai ° e X 9® SỞ GD&ĐT LÀO CAI KỲ THỊ CHỌN HSG CAP TINH THCS ĐÈ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kế thời gian giao đề) Ngày thi 15/3/2023 NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn Tốn (Đề thi gồm câu) Câu (4,0 điểm) a) Cho biểu thức P= e x—2A> + x4x-I b) Tinh giá trị biêu thức O= Vx +1 ,1+2x-2\x x\x+x+Xx x? — f/x 4x?3(x +1) — 2x70? +2023 2x23 + 2x? _ Câu (2,0 điểm) Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 7071 +] với x>0,x#l1 Rút gọn P x _3-] 3(ab+bce+ca) b) Cho ba số thực dương a,b,c thoa man diéu kién a+6+c=1 a a+18b> + b° b+18e + Cc ¢4+18a° Ching minh >— Câu (2,0 điểm) a) Chứng minh biểu thức § = #”(w+2)” +(ø+1)(ø` — 5n+1]—2n—1 chia hết cho 15 với số nguyên Nl b) Giai phuong trinh nghiém nguyén x7 +x=y'+y ty -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 3% Trang šš Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 HUONG DAN GIAI H Hướng dẫn cham chi tiết Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức P= b) x-2Wx | x4x—I ¬ Vx +1 ,1†2x-2jx x\'x+x+Nx ee Tính giá trị biêu thức @= x)—Ax 4x”°(x+l)-2x””?+2023 2203222053-211] voi x>0,x #1 Rut gon P ,„ 3-1 x= —>—” Lời giải: a) Với điều kiện x >0,x#l, ta có: x-2Nx P= (Vx -1)(x+-x +1) Vx +1 Vx (x +x +1) 2x-2Vx +1 Vx (Vx -1)(x+-¥x +1) _ vx (x—2Vx)+ (vx +1)(Vx -1)+2x-2Vx +1 Vx (Vx -1)(x4-Vx +1) _ — Wxn#-3) _Mx(Wx-1Ì(x+\x+l) _ — Wxs#-3) _Mx(Nx-!)(x+vx+l1) _ — Wxn#-3) _Mx(Wx-1Ì(x+\x+l) “.- _Mx(Nx-!)(x+vx+l1) _ (Wx-Jx+?] _Mx(Nx-1)(x+vx+1) — vx +2 _x#+Nx+L Vi x _ 3-1 & 2x = Ơ3-16 2x41=V3 â 4x7 +4x4+1=3 nén x= 2x nghiệm đa thức 2x” +2x—] (2.x° +2x -1)+2023 x?! (2.x° +2x-1)+1 Do x= Bo nghiệm đa thức 2.xˆ+2x—1 nên @ = 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 3% Trang š Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYẾN TẬP ĐÈ HỌC SINH GIỎI CÁP TINH — NAM 2022-2023 Câu (2,0 điểm) Trên bàn cờ vua kích thước 8x § gồm 64 vng kích thước 1x1 Đặt ngẫu nhiên quân Tốt vào ô vuông kích thước 1xI bàn cờ Tính xác suất để ô vuông kích thước 1x1 mà Tốt đặt khơng có tâm nằm đường chéo bàn cờ khơng có cạnh năm cạnh bàn cờ (hình vng kích thước x8 ) Lời giải: n(Q)=64 Goi A biên cô “ô vuông kích thước IxI mà Tơt đặt khơng có tâm năm đường chéo bàn cờ khơng có cạnh năm cạnh bàn cờ” Vẽ sau: thỏa mãn màu trăng n(4) = 24 T:Ầ Xac, suat#3cla bién cdOf A la:` P(A)= n (A) =—=- Câu (4,0 điểm) a) Lúc 30 phút sáng, anh Hùng điều khiển xe gắn máy khởi hành từ thành phố A đên thành phô B Khi quãng đường, xe bị hỏng nên anh Hùng dừng lại đê sửa chữa Sau 30 phút sửa xe, anh Hùng tiếp tục điều khiển xe găn máy đến thành phô B với vận tốc nhỏ vận tốc ban đầu 10 km/h Lúc 10 24 phút sáng ngày, anh Hùng đến thành phô B Biết quãng ry r r rg đường từ thành phô A đên thành phô B 160 km vận tôc xe , Ầ Ae quãng đường đâu không đôi vận tôc xe quãng đường sau không đôi Hỏi anh Hùng dùng xe đê sửa chữa lúc mây b) Cho phương trình xˆ - „x— =0 (1)(m tham số) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x,,x, thoả mãn Ix; — xj = 4/24- x; — mx, Loi giai: a) Goi van téc xe ban dau la x (km/h) (x >10) Vận tốc sau sửa chữa xe là: x >10 (km/h) Quãng đường từ A đến đoạn đường bị hỏng xe là: = 160 = 120 (km) Quang duong lai la: 160-120 = 40 (km) " 40 120 " (h), thời gian từ lúc sửa xe đên B x x—10 Thời gian từ A đên đoạn đường bị hỏng xe là: —— (h) Anh Hùng phải dừng lại sửa xe 30 phút = 0,5h nén téng thoi gian di từ A đến B là: 122 03 x x-10 (h) CLB Toan THCS Zalo: 0989.15.2268 3% Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYẾN TẬP ĐÈ HỌC SINH GIỎI CÁP TINH — NAM 2022-2023 Vì lúc từ A 30 phút sáng đến B 10 24 phút nên tông thời gian từ A đến B (kế thời gian sửa xe 54 phút =3,9 (h) 12 Vậy ta có phương trình: 122 05+ x x-] 120, 40 54 x = 3,9 x-l10 => 120(x-10)+ 40x = 3,4x.(x-10) & 3,4x° -194x +1200 =0 (1) A'=97° —3,4.1200 = 5329 = 73° >0 ` AC TA ¬ 120 nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x, = 50 (thỏa mãn), x, = ˆ , (x; +) =24-x; -(z -2) > (x; -x) +(x +x;)—26 =0 +(x; + x5 )— 4x72} —26=0 CO x, +x, = mixx, =-2> x +93 = (x, +x,) —2x,x, =m? +4 Từ (m°+4)} +(m°+4)~42=0 t=6 t=-7 Đặt (m”+4]=r>4—/”+r—42=0 | Do >4 nên / =6 m +4=6m = +4|2 Vay m= +2 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn 45C khơng cân nội tiếp đường trịn (O) (AB < AC) Tiép tuyén duong tron (O) cat duong thang BC tai E Tu E ké tuyén thr hai t6i dudng tron (0) D(D# A); AD cat EO tai O;M 1a trung diém ctia BC a) Chứng minh diém 44,E, D, M,O thuộc đường trịn tứ giác BĨOC nội tiếp đường tròn b) Chưng minh tiếp tuyến B, tiép tuyến C đường tròn (@) đường thắng 4Ð đồng quy điểm CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 3% Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 c) Ké duong cao AH ctia tam giac ABC(H € BC); AD cắt BC K Chứng minh HAK = MAO va KB _ AB KC AC” Lời giải: | a) Ta EAO + EDO =90' +90° =180' ly suy bốn điểm 44, , D,O Ta có EDO = EMO =90' SUY bốn điểm E, D, M,O có thuộc đường tròn thuộc đường tròn Vậy năm điểm 44, E,D, M,O Xét tam giác vuông EAO tacé EQ.EO = EA’ (1) Mặt khác tam giác 418C nội tiếp dudng tron (O) tacd EB.EC = EA’ (2) Tir (1) va (2) tacé EO: EO = EB- EC © £Q_ BCEO EB Ta có AB œ AEOC (vì E chung va 56 _ FC) EB EO CLB Toan THCS Zalo: 0989.15.2268 3% Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 Tir dé suy EOB = BCO Vậy tứ giác BÓOC nội tiếp đường tròn b) Gọi Ƒ giao điểm hai tiếp tuyến Œ Ta có 4D vng góc với EO Ĩ (tính chất hai tiếp tuyến cắt điểm) (3) Ta có FBO+ÕCF' = 90°+90° = 180° suy bén diém B,O,C,F cing thudc đường trịn Do tứ giác BĨOC nội tiếp đường tròn F (phan a) suy bén diém B,O,O,C cing thuéc mét dudng tron Vay diém B,O,O,C,F cing thudc đường trịn đường kính OF suy FOO = 90° hay EO L OF (4) Từ (3) (4) suy 4Ð qua điểm tức tiếp tuyén tai B, tiép tuyén tai C ctia dung tron (O) va đường thăng đồng quy điểm c) Ta có 4K = ĐEM Tứ giác 4OAD (5) nội tiếp đường tròn (chứng minh tương tự phân a) Suy 2ư = MĐƯ (cùng chắn cung OM ) (6) Xét tam giác vuông OBF taco OM.OF =OB? = OM.OF =OD? = 2% = 2° OD Suy AOMD ® AODF OF (vi Dom chung va OM _ OP) OD OF Từ ta có ODM = DEM (7) Từ (5), (6), (7) suy HAK = MAO (7) Ta có AFBD” AFAB= “=5— AB FA (8) AFCD” AFAC= S2 = ££ (9) AC FA Từ (8) (9) suy ZD_CD_ BA BD_ AB CA CD AC KB_ BA AKBA” AKDC > —— = — (10) KD DC AKBD” AKAC=> Tu (10) ,111) (10),(11) su suy KD_ 8D — (11) KC AC KB "aD KD_ eC BA DC BD_ AC KD KC DC’ AC AB BD AC DC (AB ° Te Câu (2,0 diém)(at+b+c) >3(ab+be+ca) a) Cho ba số thuc a,b,c Ching minh ranga,b,c: (a+ b+c) =3(ab+be+ca) CLB Toan THCS Zalo: 0989.15.2268 3% Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 b) Cho TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 ba số thực dương thỏa mãn điều kiện z+ø+e=1 Chứng minh a a+l18b + b? b+lI§c`Š + C c+18a >— Lời giải: a) Ta có (a+b+e} =a” +Bˆ+c” +2ab+2be + 2ca (a+b+c} >3(ab + be + ca) 3(ab + be + ca) ©a”+bÌ+c” >ab+bc+ca © 2a” +2bŸ +2c” >2ab +2be +2ca (a-5Ÿ +(b-c) +(c-a) > 0Va,b,c Dau "=" 3(ab+be+ca),Va,b,c —=q— 18ab° a+18bŠ a+18§bŠ=a+9b +9ð3 > 3ÄJa.81.b° =90?4/3a a =g 18ab —=>————=a-————-gqạ~ a+18b° %*\Wa =a? iB 3ab+3ab+b = ana—=3)3ab,(3ab).b ab, (3ab) = aan 2 Tuong tu ta co l&e : > b= (6be +c): b = aa—~>(6ab -=(6ab +b)+b c+18a >>>e~“(6ea+a) Ta có VT a+b+e-=[6(ab+be + ca) +(atb+e)| Ma (a+b+0)' =3(ab+be+ca) > ab+be+ca0 Cách đánh giá theo hiệu cho ta (2y”+y}